如何使用向量计算器
向量计算器将所有常见向量运算集于一处，并为每个结果提供分步计算说明。
- 选择维度 — 选择 2D（二维向量 x, y）或 3D（三维向量 x, y, z）。
- 选择运算 — 从下拉菜单选择向量运算：加法、减法、数乘、点积、叉积、模长、单位向量、夹角或投影。
- 输入向量 A — 填写第一个向量的 x、y（及 z）分量。
- 输入向量 B 或标量 — 二元运算需填写向量 B 的分量；数乘运算填写标量值。向量计算器会自动隐藏无关输入项。
- 查看结果 — 向量计算器显示运算结果、结果向量的模长（适用于向量输出），以及分步计算过程。
公式与原理 — 向量计算器
向量计算器实现了线性代数中的标准向量公式：
加法： A + B = (ax+bx, ay+by, az+bz)
减法： A - B = (ax-bx, ay-by, az-bz)
数乘： kA = (k·ax, k·ay, k·az)
点积： A · B = ax·bx + ay·by + az·bz
叉积： A × B = (ay·bz - az·by, az·bx - ax·bz, ax·by - ay·bx)
模长： |A| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量： Â = A / |A|
夹角： θ = arccos((A · B) / (|A|·|B|))
投影： proj_B(A) = (A·B / |B|²) · B
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| A, B | 输入向量 |
| k | 标量系数 |
| θ | A 与 B 的夹角（度） |
| Â | A 方向的单位向量 |
向量计算器使用精确的浮点运算，并对 arccos 的输入进行 [-1, 1] 的范围约束，避免 0° 和 180° 附近的数值误差。
关于叉积
叉积的几何意义仅在三维空间中成立。在二维模式下，向量计算器返回三维叉积的 z 分量，其数值等于以 A 和 B 为边构成的平行四边形的有符号面积。
向量计算器的应用场景
向量计算器适用于物理、工程和数学等多种场景：
- 物理学 — 力、速度、加速度均为向量。用向量计算器求合力（加法）、做功（点积）或力矩（叉积）。
- 计算机图形与游戏开发 — 法向量、光照模型和碰撞检测均需要向量计算器提供的叉积和点积运算。
- 导航与地理信息 — 方位角计算、位移向量分解和速度合成是向量计算器在地理空间领域的典型应用。
- 机器学习 — 余弦相似度（由点积和模长推导）通过向量计算器的夹角功能求得，广泛用于自然语言处理和推荐系统。
- 结构工程 — 力对某点的力矩等于位置向量与力向量的叉积，可直接通过向量计算器求解。
无论你是在解物理题、构建 3D 应用，还是学习线性代数，向量计算器都能提供准确的结果和清晰的分步说明。