Was ist eine Betragsungleichung und wie ist der Betrag definiert?

Eine Betragsungleichung ist eine Ungleichung, in der die Unbekannte innerhalb von Betragsstrichen vorkommt. Der absolute Betrag |u| beschreibt den Abstand einer Zahl zum Nullpunkt auf der Zahlengeraden: Er ist gleich u für u ≥ 0 und gleich -u für u < 0.

Wie löst man Betragsungleichungen mit Fallunterscheidung?

Man untersucht zwei Fälle: Im 1. Fall nimmt man an, dass der innere Term nicht-negativ ist (u ≥ 0), und löst die Ungleichung ohne Betragsstriche. Im 2. Fall nimmt man an, dass der Term negativ ist (u < 0), und ersetzt |u| durch -(u). Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung beider gültigen Teillösungen.

Welche Abkürzung gilt für Ungleichungen der Form |u| ≤ c und |u| ≥ c?

Für c > 0 kann man |u| ≤ c direkt als doppelte Ungleichung -c ≤ u ≤ c umschreiben (beschränktes Intervall). Für |u| ≥ c zerfällt die Aussage in zwei separate Strahlen: u ≤ -c oder u ≥ c.

Was passiert, wenn auf der rechten Seite eine negative Zahl steht?

Da der Betrag |u| niemals negativ sein kann, hat eine Ungleichung wie |u| -3 ist hingegen für alle reellen Zahlen wahr.

Wie gibt der Rechner das Ergebnis an?

Der Rechner liefert sowohl die algebraische Lösungsmenge (z. B. x ≤ -2 oder x ≥ 5) als auch die standardisierte Intervallschreibweise (z. B. [-2, 5] oder (-∞, -2] ∪ [5, ∞)) samt detaillierten Rechenschritten.

Werden meine Eingaben auf einem Server gespeichert?

Nein. Alle Berechnungen laufen vollständig lokal in Ihrem Webbrowser ab. Es werden keine Daten an externe Server übertragen.

Betragsungleichungen-Rechner: Ungleichungen online lösen

So nutzen Sie den Betragsungleichungen-Rechner

Der Betragsungleichungen-Rechner ist ein praktisches Online-Werkzeug, mit dem Sie lineare Ungleichungen mit Betragsstrichen schnell, zuverlässig und schrittweise lösen können. Ob zur Vorbereitung auf Klausuren, zur Kontrolle von Schulaufgaben oder im Hochschulstudium: Der Betragsungleichungen-Rechner zeigt Ihnen neben dem Endergebnis auch den vollständigen Lösungsweg mit allen Zwischenschritten an.

Ungleichung eingeben — Geben Sie den Term in das Eingabefeld ein, beispielsweise in der Form |2x - 3| <= 7 oder |x + 4| > 10.
Berechnung prüfen — Der Betragsungleichungen-Rechner wertet die Eingabe in Echtzeit aus und trennt die Fallunterscheidung übersichtlich auf.
Lösungsmenge ablesen — Sie erhalten die exakte Lösungsmenge als Ungleichungskette sowie in standardisierter Intervallschreibweise.

Der Betragsungleichungen-Rechner fängt fehlerhafte Formatierungen und ungültige Eingaben automatisch ab und gibt hilfreiche Hinweise zur Korrektur.

Mathematische Grundlagen & Fallunterscheidung

Beim Lösen von Betragsungleichungen nutzt der Betragsungleichungen-Rechner die formale Definition des absoluten Betrags. Da der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche sowohl positiv als auch negativ sein kann, zerlegt man das Problem systematisch in Teilbereiche.

Für eine lineare Betragsungleichung der Gestalt $|ax + b| \le c$ oder $|ax + b| \ge c$ mit einer positiven Konstante $c > 0$ gelten die folgenden grundlegenden Äquivalenzen:

|u| < c   <=>  -c < u < c               (offenes Intervall)
|u| <= c  <=>  -c <= u <= c             (abgeschlossenes Intervall)
|u| > c   <=>  u < -c  oder  u > c      (zwei unbeschränkte Intervalle)
|u| >= c  <=>  u <= -c  oder  u >= c    (zwei unbeschränkte Intervalle)

Der Betragsungleichungen-Rechner unterscheidet zwei fundamentale Grundtypen:

„Kleiner-als“-Typ ($|u| \le c$): Der Abstand zum Nullpunkt ist höchstens $c$. Die Lösungsmenge bildet ein zusammenhängendes, beschränktes Intervall zwischen $-c$ und $c$.
„Größer-als“-Typ ($|u| \ge c$): Der Abstand zum Nullpunkt beträgt mindestens $c$. Die Lösungsmenge besteht aus der Vereinigung zweier getrennter Strahlen, die sich nach $-\infty$ und $+\infty$ erstrecken.

Lösungsregeln und Sonderfälle im Überblick

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Fallkonstellationen zusammengefasst, die der Betragsungleichungen-Rechner automatisch erkennt:

Ungleichungstyp	Bedingung für $c$	Äquivalente Umformung	Intervallschreibweise
$	u	\le c$	$c > 0$
$	u	< c$	$c > 0$
$	u	\ge c$	$c > 0$
$	u	> c$	$c > 0$
$	u	< c$	$c < 0$
$	u	> c$	$c < 0$
$	u	\le 0$	$c = 0$
$	u	> 0$	$c = 0$

Auch bei diesen Spezialfällen führt der Betragsungleichungen-Rechner die mathematische Begründung detailliert auf, sodass Sie jeden Schritt mühelos nachvollziehen können.

Schritt-für-Schritt-Rechenbeispiele

Beispiel 1: $|2x - 3| \le 7$

Formel anwenden: Da $c = 7 > 0$ ist, formt der Betragsungleichungen-Rechner den Ausdruck in die Doppelungleichung $-7 \le 2x - 3 \le 7$ um.
Terme isolieren: Auf allen Seiten $+3$ addieren: $-4 \le 2x \le 10$.
Durch 2 dividieren: $-2 \le x \le 5$.
Ergebnis: Die Lösungsmenge lautet $L = [-2, 5]$.

Beispiel 2: $|x + 4| > 10$

In zwei Fälle aufspalten: $x + 4 < -10$ oder $x + 4 > 10$.
Ungleichungen auflösen: $x < -14$ oder $x > 6$.
Ergebnis: In Intervallschreibweise ergibt sich $L = (-\infty, -14) \cup (6, \infty)$.

Anwendungsbereiche

Der Betragsungleichungen-Rechner eignet sich für zahlreiche praktische und theoretische Fragestellungen:

Schule & Abitur: Vertiefung von Algebra, Betragsfunktionen und Vorbereitung auf Klausuren.
Studium der Ingenieur- & Naturwissenschaften: Berechnung von Toleranzintervallen, Fehlerschranken und Grenzwerten ($\varepsilon$-$\delta$-Kriterium der Analysis).
Messtechnik & Qualitätssicherung: Bestimmung von zulässigen Abweichungen $|x - x_{\text{soll}}| \le \Delta x$ in Fertigungsprozessen.

Dank der schnellen Ausführung im Browser bietet der Betragsungleichungen-Rechner eine optimale Unterstützung für Schüler, Studierende, Lehrkräfte und Ingenieure.

Betragsungleichungen-Rechner