So nutzen Sie den Lineare Regression Rechner
Der Lineare Regression Rechner bestimmt aus gepaarten Messwerten $(x, y)$ in wenigen Schritten die optimale Ausgleichsgerade nach dem Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate. Ob für statistische Auswertungen im Studium, naturwissenschaftliche Experimente oder betriebswirtschaftliche Trendanalysen – mit diesem Online-Werkzeug analysieren Sie bivariate Datenreihen im Handumdrehen:
- X-Werte eingeben — Tragen Sie die Messwerte der unabhängigen Variablen ($x$) durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein (beispielsweise:
1, 2, 3, 4, 5). - Y-Werte erfassen — Geben Sie die zugehörigen Werte der abhängigen Variablen ($y$) in derselben Reihenfolge und Anzahl ein.
- Ergebnisse ablesen — Der Lineare Regression Rechner berechnet sofort die Geradengleichung $\hat{y} = a + bx$, die Steigung $b$, den y-Achsenabschnitt $a$, den Korrelationskoeffizienten $R$, das Bestimmtheitsmaß $R^2$ sowie ein interaktives Streudiagramm und eine detaillierte Residuentabelle.
Für eine sinnvolle Ausgleichsgerade benötigt der Lineare Regression Rechner mindestens zwei Datenpaare. Um statistisch aussagekräftige Trends abzuleiten, empfiehlt sich jedoch ein Stichprobenumfang von drei oder mehr Datenpunkten.
Mathematische Formeln & Methode der kleinsten Quadrate
Der Lineare Regression Rechner basiert auf dem klassischen Schätzverfahren der gewöhnlichen kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS). Ziel des Verfahrens ist es, eine Gerade $\hat{y} = a + bx$ so durch die Punktwolke zu legen, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abstände (Residuenquadratsumme) minimal wird:
$$\min_{a, b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 = \min{a, b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (a + b x_i))^2$$
Die geschlossenen analytischen Formeln zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten lauten:
1. Steigung ($b$)
$$b = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\text{Var}(x)}$$
2. y-Achsenabschnitt ($a$)
$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$$
3. Pearsonscher Korrelationskoeffizient ($R$)
$$R = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$
4. Bestimmtheitsmaß ($R^2$)
$$R^2 = R \times R = \frac{\text{Erklärte Varianz}}{\text{Gesamtvarianz}}$$
| Symbol | Fachbegriff | Bedeutung im Modell |
|---|---|---|
| $b$ | Steigung (Slope) | Änderung von $y$, wenn $x$ um 1 Einheit steigt |
| $a$ | Achsenabschnitt (Intercept) | Erwartungswert von $y$ an der Stelle $x = 0$ |
| $\bar{x}, \bar{y}$ | Arithmetische Mittelwerte | Schwerpunktskoordinaten der Stichprobe $(\bar{x}, \bar{y})$ |
| $R$ | Korrelationskoeffizient | Stärke & Richtung des linearen Zusammenhangs ($-1 \le R \le +1$) |
| $R^2$ | Bestimmtheitsmaß | Anteil der erklärten Streuung ($0 \le R^2 \le 1$) |
| $e_i$ | Residuum ($y_i - \hat{y}_i$) | Vertikale Abweichung des Messpunkts von der Modellgeraden |
Schritt-für-Schritt-Berechnungsbeispiel
Ein Dozent möchte untersuchen, wie sich die wöchentliche Lernzeit ($x$ in Stunden) auf die erreichte Klausurpunktzahl ($y$) auswirkt. Folgende $n = 5$ Datenpaare liegen vor: $(2, 50)$, $(4, 60)$, $(5, 65)$, $(7, 80)$, $(8, 85)$.
-
Mittelwerte berechnen: $$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 5 + 7 + 8}{5} = \frac{26}{5} = 5{,}2$$ $$\bar{y} = \frac{50 + 60 + 65 + 80 + 85}{5} = \frac{340}{5} = 68{,}0$$
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Kovarianzsumme & Varianzsumme ermitteln:
- $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (-3{,}2)(-18) + (-1{,}2)(-8) + (-0{,}2)(-3) + (1{,}8)(12) + (2{,}8)(17) = 57{,}6 + 9{,}6 + 0{,}6 + 21{,}6 + 47{,}6 = 137{,}0$
- $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (-3{,}2)^2 + (-1{,}2)^2 + (-0{,}2)^2 + 1{,}8^2 + 2{,}8^2 = 10{,}24 + 1{,}44 + 0{,}04 + 3{,}24 + 7{,}84 = 22{,}8$
-
Steigung $b$ und Achsenabschnitt $a$ berechnen: $$b = \frac{137{,}0}{22{,}8} \approx 6{,}0088$$ $$a = 68{,}0 - (6{,}0088 \cdot 5{,}2) = 68{,}0 - 31{,}2456 = 36{,}7544$$
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Regressionsgerade und Prognose: Die resultierende Regressionsgleichung lautet: $$\hat{y} = 36{,}75 + 6{,}01 \cdot x$$ Für einen Studenten mit $x = 6$ Stunden Lernzeit prognostiziert der Lineare Regression Rechner eine Klausurpunktzahl von $\hat{y} = 36{,}75 + 6{,}01 \cdot 6 = 72{,}81$ Punkten.
Typische Einsatzbereiche für den Lineare Regression Rechner
Der Lineare Regression Rechner leistet in vielen Fachbereichen wertvolle Dienste bei der explorativen Datenanalyse:
- Statistik- und Mathematikausbildung: Schnelles Lösen und Nachvollziehen von Übungsaufgaben zur Regressions- und Korrelationsanalyse.
- Physik- und Chemielabor: Bestimmung von Kalibriergeraden (z. B. Lambert-Beersches Gesetz bei photometrischen Messungen oder Federkonstanten im Hookeschen Gesetz).
- Wirtschaftswissenschaften & Marketing: Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen Werbeausgaben und Neukundengewinnung oder Absatzmengen.
- Ingenieurwesen & Qualitätssicherung: Untersuchung von Materialverschleiß in Abhängigkeit von Betriebsstunden oder Temperaturverläufen.
Durch die grafische Darstellung der Regressionslinie und die automatische Residuentabelle unterstützt Sie der Lineare Regression Rechner dabei, Ausreißer sofort zu erkennen und die Güte Ihres linearen Regressionsmodells zuverlässig einzuschätzen.