LFSR-Rechner

So nutzen Sie den LFSR-Rechner

Der LFSR-Rechner ermöglicht die interaktive Simulation und Analyse linear rückgekoppelter Schieberegister (Linear Feedback Shift Registers) direkt im Webbrowser. Um eine Simulation zu starten, wählen Sie im LFSR-Rechner zunächst die gewünschte Registergröße in Bit und tragen den binären Initialwert (Seed) ein. Anschließend geben Sie im LFSR-Rechner die Rückkopplungspositionen (Tap-Positionen) an, bestimmen die Schieberichtung (Rechtsshift oder Linksshift) und legen die Anzahl der gewünschten Iterationsschritte fest.

Das Ergebnispanel im LFSR-Rechner aktualisiert sich bei jeder Parameteränderung automatisch. Sie sehen auf einen Blick die generierte Pseudozufallssequenz, den aktuellen Endzustand des Schieberegisters, die erkannte Periodenlänge sowie die theoretisch maximale Periode von $2^n - 1$. Eine detaillierte Zustandstabelle im LFSR-Rechner listet jeden einzelnen Takt mit Registerzustand, Rückkopplungsbit und Ausgabebit übersichtlich auf.

Mathematische Grundlagen & Formeln des LFSR

Ein lineares rückgekoppeltes Schieberegister basiert auf einer linearen Rückführungsfunktion über dem Galois-Körper $\mathbb{F}_2$ (GF(2)), die durch Exklusiv-Oder-Verknüpfungen (XOR) realisiert wird. Der LFSR-Rechner implementiert die klassische Fibonacci-Architektur mit folgenden mathematischen Beziehungen:

Rückkopplungsbit:  b_in = b_{t₁} XOR b_{t₂} XOR ... XOR b_{tₖ}
Nächster Zustand:  [b_in, b₁, b₂, ..., b_{n-1}]  (bei Rechtsshift)
Maximale Periode:  P_max = 2^n - 1  (bei primitivem Polynom)

Das Verhalten des Registers wird durch sein charakteristisches Rückkopplungspolynom $P(x) = 1 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots + c_n x^n$ bestimmt. Ist dieses Polynom im Galois-Feld primitiv, durchläuft das Register eine sogenannte Maximalfolge (m-Sequenz) der Länge $2^n - 1$, bevor sich die Zustände wiederholen. Mit dem LFSR-Rechner lässt sich diese Eigenschaft für beliebige Bitlängen sofort überprüfen. Der reine Nullzustand $(0, 0, \dots, 0)$ ist ein Fixpunkt und wird daher nicht durchlaufen.

Fibonacci- versus Galois-Konfiguration

In der Schaltungstechnik existieren zwei grundlegende Topologien für Schieberegister:

1. Fibonacci-LFSR: Die Rückkopplung wird aus mehreren Tap-Positionen über eine Kaskade von XOR-Gattern summiert und als einzelnes Eingangsbit an den Anfang des Registers geführt. Dies ist die Standardmethode im LFSR-Rechner.
2. Galois-LFSR: Das Ausgangsbit wird gleichzeitig in mehrere interne Registerstufen per XOR eingekoppelt. Da keine lange Gatterkette entsteht, erreicht diese Struktur in digitaler Hardware meist höhere Taktfrequenzen.

Beide Architekturen erzeugen bei äquivalenten Polynomen dieselbe Periodenlänge und identische statistische Eigenschaften, unterscheiden sich jedoch in den Zwischenzuständen der Registerstufen. Mit dem LFSR-Rechner untersuchen Sie die Funktionsweise des Fibonacci-Modells im Detail.

Schritt-für-Schritt-Beispiel für ein 4-Bit-LFSR

Betrachten wir ein 4-Bit-Register ($n = 4$) mit dem primitiven Polynom $P(x) = x^4 + x^3 + 1$ (Taps an Position 4 und 3) und dem Startwert (Seed) 1001:

1. Startzustand (Takt 0): Register = 1001, Taps an Bit 4 (1) und Bit 3 (0).
2. Takt 1: $b_{\text{in}} = 1 \oplus 0 = 1$. Nach dem Rechtsshift lautet der neue Zustand 1100, Ausgabebit ist 1.
3. Takt 2: Taps sind Bit 4 (0) und Bit 3 (0), $b_{\text{in}} = 0 \oplus 0 = 0$. Neuer Zustand: 0110, Ausgabebit: 0.
4. Takt 3: Taps sind Bit 4 (0) und Bit 3 (1), $b_{\text{in}} = 0 \oplus 1 = 1$. Neuer Zustand: 1011, Ausgabebit: 0.

Mit einem primitiven Polynom wiederholt sich dieser Zyklus erst nach exakt $2^4 - 1 = 15$ Takten. Der LFSR-Rechner veranschaulicht diesen vollständigen Ablauf Schritt für Schritt in der Zustandstabelle.

Anwendungsbereiche in Kryptographie und Technik

Lineare rückgekoppelte Schieberegister sind fundamentale Bausteine moderner digitaler Systeme. Der LFSR-Rechner unterstützt Studierende, Entwickler und Ingenieure bei der Analyse folgender typischer Anwendungsfelder:

• Pseudozufallszahlengeneratoren (PRNG): Erzeugung schneller Zufallsbitfolgen für Simulationen, statistische Tests und BIST (Built-In Self-Test) in ASICs und FPGAs.
• Kryptographische Stromchiffren: Historische und leichtgewichtige Chiffren (wie A5/1 im GSM-Mobilfunk oder E0 in Bluetooth) nutzen kombinierte Schieberegister mit nichtlinearen Filterfunktionen.
• Fehlererkennung und CRC: Zyklische Redundanzprüfungen basieren auf Polynomdivision mittels Schieberegistern.
• Nachrichtentechnik & Scrambler: Zur spektralen Spreizung (CDMA) und Vermeidung langer Folgen identischer Bits in Übertragungskanälen (Ethernet, PCIe).

Mit dem LFSR-Rechner prüfen Sie Schaltungsentwürfe schnell auf Korrektheit, testen verschiedene Tap-Kombinationen und vertiefen Ihr Verständnis für digitale Schaltwerke.