Funktionsweise und Bedienung des Sag-Rechners
Der Sag-Rechner ermöglicht die schnelle und präzise Ermittlung der Stichhöhe (auch als Sagitta, Bogenhöhe oder Pfeilhöhe bezeichnet) für kreisförmige Segmente und gekrümmte Oberflächen. Geben Sie einfach den Radius $R$ sowie die Sehnenlänge oder den Durchmesser $D$ in das Eingabefeld ein und wählen Sie die gewünschte Maßeinheit (Millimeter, Zentimeter, Meter, Zoll oder Fuß) aus. Das Werkzeug aktualisiert das Ergebnis unmittelbar im Browser.
Für optimale Ergebnisse mit dem Sag-Rechner sollten Sie stets darauf achten, dass beide Ausgangsmaße in derselben Einheit vorliegen oder die automatische Umrechnung gewählt wird. Wenn Sie an komplexen Bauteilen arbeiten, empfiehlt es sich, die Maße vor Ort mehrfach an verschiedenen Bezugspunkten nachzumessen. Unser Online-Tool liefert Ihnen neben dem exakten Hauptwert auch den korrespondierenden Mittelpunktswinkel sowie den Näherungswert nach der Parabelformel.
In der praktischen Werkstattarbeit dient der Sag-Rechner als zuverlässige Planungsbasis. Bei Zuschnitten von Holz, Metallblechen oder Kunststoffen sollten Sie zum berechneten Stichmaß stets fertigungsbedingte Toleranzen und Sägeblattstärken hinzurechnen.
Mathematische Formel und Theorie – Sag-Rechner
Der Sag-Rechner basiert auf den fundamentalen Sätzen der Kreisgeometrie (Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck am Kreisbogen). Die exakte Bestimmung der Stichhöhe $SAG$ erfolgt nach folgender Gleichung:
SAG = R − √(R² − (D/2)²)
Näherungsformel: SAG ≈ D² / (8R)
Mittelpunktswinkel: α = 2 · arcsin(D / (2R))Hierbei steht $R$ für den Krümmungsradius des Bogens und $D$ für die Sehnenlänge (den horizontalen Abstand zwischen den Bogenendpunkten). Die Berechnung zieht vom Gesamtradius den Abstand vom Kreismittelpunkt zur Sehne ab, wodurch die verbleibende maximale Scheitelhöhe (Sagitta) exakt bestimmt wird.
Exakte Kreisbogenformel vs. Parabelnäherung
In vielen Ingenieuranwendungen wird die vereinfachte Näherung $SAG \approx D^2 / (8R)$ verwendet. Der Sag-Rechner stellt beiden Wegen die exakte Lösung gegenüber und beziffert die mathematische Differenz. Bei sehr flachen Wölbungen ($D \ll R$) ist die Abweichung vernachlässigbar gering. Wird die Sehne im Verhältnis zum Radius jedoch größer, liefert nur die exakte geometrische Berechnung ein zuverlässiges Konstruktionsmaß.
Annahmen, Genauigkeit und Grenzwerte
Dieses Berechnungstool setzt voraus, dass der Bogen mathematisch einem idealen Kreisabschnitt entspricht. Die Sehnenlänge $D$ darf definitionsgemäß maximal das Doppelte des Radius betragen ($D \le 2R$). Reale Werkstücke weisen materialbedingte Spannungen, Rückfederungseffekte oder thermische Ausdehnungen auf. Nutzen Sie die Werte aus dem Sag-Rechner daher als präzise geometrische Richtwerte für Ihre Fertigungs- und Montageplanung.
Typische Anwendungsbereiche für den Sag-Rechner
Der Sag-Rechner ist ein vielseitiges Hilfsmittel für Handwerker, Konstrukteure und Ingenieure. Typische Einsatzgebiete umfassen:
- Optik und Linsenfertigung: Bestimmung der Sagittalhöhe von sphärischen Linsenoberflächen und Hohlspiegeln.
- Architektur und Bogenbau: Konstruktion von Rundbögen, Segmentbögen, Türstürzen und Tonnengewölben.
- Holz- und Möbelbau: Schnelles Anreißen von Bogenfriesen, geschwungenen Tischplatten und Frässchablonen.
- Metall- und Rohrleitungsbau: Überprüfung von Biegewalzen, Rohrbögen und Profilkrümmungen.
- Bauwerksprüfung und Vermessung: Kontrolle von Deckenstichen, Bogenstichen und Durchbiegungen im Bestand.
Praxisbeispiel: Stichhöhenberechnung im Holzbau
Angenommen, Sie planen einen Segmentbogen mit einem Radius von $R = 1200\text{ mm}$ und einer lichten Öffnungsweite (Sehnenlänge) von $D = 800\text{ mm}$. Geben Sie diese Parameter in den Sag-Rechner ein:
- Das System berechnet den halben Sehnenwert: $D / 2 = 400\text{ mm}$.
- Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Schenkellänge zum Sehnenmittelpunkt: $\sqrt{1200^2 - 400^2} = \sqrt{1440000 - 160000} = \sqrt{1280000} \approx 1131{,}37\text{ mm}$.
- Die Formel ermittelt die Stichhöhe: $SAG = 1200 - 1131{,}37 = 68{,}63\text{ mm}$.
- Die Näherungsformel liefert: $800^2 / (8 \cdot 1200) = 640000 / 9600 \approx 66{,}67\text{ mm}$ (Differenz: $1{,}96\text{ mm}$).
Dank der transparenten Zwischenschritte im Sag-Rechner können Sie Schablonen passgenau anfertigen und Materialverschnitt auf ein Minimum reduzieren.