So nutzen Sie den Singulärwertzerlegung-Rechner
Der Singulärwertzerlegung-Rechner faktorisiert eine beliebige reelle Matrix $A$ in das Produkt $A = U \Sigma V^T$ und gibt alle Komponentenmatrizen übersichtlich aus. Geben Sie einfach die Zeilen- und Spaltenanzahl sowie die Werte ein: Der Singulärwertzerlegung-Rechner ermittelt $U$, $\Sigma$ und $V^T$, verifiziert die Rekonstruktion $U\Sigma V^T \approx A$ und dokumentiert die einzelnen Rechenschritte.
- Dimensionen festlegen – Wählen Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten (jeweils 1 bis 4) für Ihre Matrix $A$.
- Matrixwerte eingeben – Tragen Sie die reellen Zahlen in die jeweiligen Zellen des Eingaberasters ein.
- Zerlegung ablesen – Der Singulärwertzerlegung-Rechner berechnet die Matrizen $U$, $\Sigma$ und $V^T$ in Echtzeit.
- Verifikation prüfen – Das Tool multipliziert $U \Sigma V^T$ zur Gegenprobe, sodass Sie die exakte Übereinstimmung mit $A$ kontrollieren können.
- Singulärwerte analysieren – Die Diagonalelemente von $\Sigma$ sind die Singulärwerte, absteigend nach Größe sortiert.
Mathematische Definition & Formel
Die Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition, SVD) ist eines der fundamentalen Verfahren der linearen Algebra. Der Singulärwertzerlegung-Rechner führt die vollständige Zerlegung durch:
A = U Σ Vᵀ
wobei:
U ∈ ℝ^(m×m) — orthogonale Matrix der linken Singulärvektoren
Σ ∈ ℝ^(m×n) — Diagonalmatrix der geordneten Singulärwerte σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0
Vᵀ ∈ ℝ^(n×n) — transponierte orthogonale Matrix der rechten Singulärvektoren| Symbol | Bedeutung | Mathematische Eigenschaft |
|---|---|---|
| A | Reelle Eingabematrix | Dimension $m \times n$ |
| U | Linke Singulärmatrix | Spalten sind Eigenvektoren von $A A^T$ ($U^T U = I_m$) |
| Σ | Singulärwertmatrix | Rechteckige Diagonalmatrix mit $\Sigma_{ii} = \sigma_i$ |
| Vᵀ | Rechte Singulärmatrix | Zeilen sind Eigenvektoren von $A^T A$ ($V^T V = I_n$) |
| σᵢ | Singulärwerte | $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^T A)} \ge 0$ |
Schritt-für-Schritt-Berechnung im Singulärwertzerlegung-Rechner
Der Singulärwertzerlegung-Rechner nutzt ein numerisch stabiles Verfahren auf Basis des Jacobi-Eigenwertalgorithmus:
- Bildung der Gram-Matrix: Berechnung des symmetrischen Matrixprodukts $A^T A$ der Dimension $n \times n$.
- Eigenwertberechnung: Bestimmung aller Eigenwerte $\lambda_i$ und orthogonalen Eigenvektoren $v_i$ von $A^T A$ mittels Jacobi-Rotationen. Die Vektoren $v_i$ bilden die Spalten von $V$.
- Sortierung & Singulärwerte: Die Eigenwerte werden absteigend sortiert ($\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge 0$). Die Singulärwerte ergeben sich als Quadratwurzeln $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$.
- Linke Singulärvektoren: Für jeden positiven Singulärwert $\sigma_i > 0$ wird der zugehörige linke Vektor berechnet: $u_i = \frac{1}{\sigma_i} A v_i$. Bei Bedarf wird die Basis orthonormal zu einer $m \times m$-Matrix $U$ ergänzt.
- Zusammenbau & Verifikation: Der Singulärwertzerlegung-Rechner formt die Matrizen $U$, $\Sigma$ und $V^T$ und validiert das Produkt $U \Sigma V^T \approx A$.
Wichtige abgeleitete Größen und Matrixeigenschaften
Aus den Ergebnissen, die der Singulärwertzerlegung-Rechner liefert, lassen sich zahlreiche wichtige Kennzahlen ableiten:
- Niedrigrang-Approximation (Eckart-Young-Theorem): $A_k = \sum_{i=1}^k \sigma_i u_i v_i^T$ liefert die beste Rang-$k$-Näherung bezüglich der Frobenius-Norm.
- Moore-Penrose-Pseudoinverse: $A^+ = V \Sigma^+ U^T$, wobei $\Sigma^+$ aus $\Sigma^T$ durch Invertieren der positiven Diagonalelemente entsteht ($1/\sigma_i$).
- Spektralnorm (Matrix-2-Norm): $|A|_2 = \sigma_1$ (größter Singulärwert).
- Frobenius-Norm: $|A|F = \sqrt{\sum{i} \sigma_i^2}$.
- Konditionszahl: $\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$ gibt die numerische Empfindlichkeit linearer Gleichungssysteme an.
Anwendungsbereiche für den Singulärwertzerlegung-Rechner
Der Singulärwertzerlegung-Rechner unterstützt Studierende, Ingenieure und Data Scientists in zentralen Anwendungsfeldern:
- Hauptkomponentenanalyse (PCA): Ermittlung der Hauptvariationsrichtungen in multivariaten Datensätzen über die rechten Singulärvektoren.
- Bild- und Datenkompression: Reduzierung des Speicherbedarfs durch Beschränkung auf die $k$ größten Singulärwerte.
- Rauschfilterung & Signalverarbeitung: Ausblenden kleiner Singulärwerte zur Unterdrückung von Messrauschen.
- Ausgleichsrechnung (Least Squares): Effiziente und numerisch robuste Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme $Ax = b$.
- Latent Semantic Analysis (LSA): Auffinden semantischer Zusammenhänge und Topic-Modeling in der Computerlinguistik.
Mit dem Online-Singulärwertzerlegung-Rechner erhalten Sie schnelle, präzise und didaktisch aufbereitete Matrixzerlegungen direkt im Browser.