So nutzen Sie den Gleichverteilungs-Rechner
Mit dem Gleichverteilungs-Rechner analysieren Sie stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (auch Rechteckverteilung genannt) schnell und präzise.
- Parameter eingeben: Tragen Sie die untere Intervallgrenze $a$ und die obere Intervallgrenze $b$ (mit $b > a$) in den Gleichverteilungs-Rechner ein.
- Intervall für Wahrscheinlichkeiten festlegen: Geben Sie optional die Abfragegrenzen $c$ und $d$ ein, um die Wahrscheinlichkeit $P(c \le X \le d)$ zu berechnen.
- Ergebnisse ablesen: Der Gleichverteilungs-Rechner ermittelt automatisch Kennzahlen wie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$.
Formeln & mathematische Definitionen
Eine stetige Zufallsvariable $X$ ist auf dem reellen Intervall $[a, b]$ gleichverteilt ($X \sim \mathcal{U}(a, b)$), wenn alle Teilintervalle gleicher Länge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Der Gleichverteilungs-Rechner verwendet die folgenden stochastischen Standardformeln:
1. Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion $f(x)$)
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{für } a \le x \le b \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$
2. Verteilungsfunktion ($F(x) = P(X \le x)$)
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a \ \frac{x - a}{b - a} & \text{für } a \le x \le b \ 1 & \text{für } x > b \end{cases}$$
3. Erwartungswert ($E(X)$) & Lageparameter
Der Erwartungswert entspricht exakt der Intervallmitte:
$$E(X) = \mu = \frac{a + b}{2}$$
Auch der Median und der Mittelwert fallen bei der symmetrischen Rechteckverteilung auf diesen Punkt.
4. Varianz ($\text{Var}(X)$) & Standardabweichung ($\sigma$)
Die Streuungsmaße hängen ausschließlich von der Intervallbreite $(b - a)$ ab:
$$\text{Var}(X) = \sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$
$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \frac{b - a}{\sqrt{12}} = \frac{b - a}{2\sqrt{3}}$$
| Kennzahl | Symbol | Berechnungsformel |
|---|---|---|
| Dichtefunktion | $f(x)$ | $\frac{1}{b - a}$ für $x \in [a, b]$ |
| Verteilungsfunktion | $F(x)$ | $\frac{x - a}{b - a}$ für $x \in [a, b]$ |
| Erwartungswert | $E(X)$ | $\frac{a + b}{2}$ |
| Varianz | $\text{Var}(X)$ | $\frac{(b - a)^2}{12}$ |
| Standardabweichung | $\sigma$ | $\frac{b - a}{\sqrt{12}}$ |
Praktisches Rechenbeispiel
Angenommen, eine Zufallsvariable beschreibt eine Wartezeit in Minuten, die gleichmäßig zwischen $a = 0$ und $b = 20$ Minuten verteilt ist. Im Gleichverteilungs-Rechner ergeben sich die folgenden Werte:
- Intervalllänge: $b - a = 20 - 0 = 20$
- Wahrscheinlichkeitsdichte: $f(x) = \frac{1}{20} = 0{,}05$
- Erwartete Wartezeit: $E(X) = \frac{0 + 20}{2} = 10\text{ Minuten}$
- Varianz: $\text{Var}(X) = \frac{20^2}{12} = \frac{400}{12} \approx 33{,}33\text{ Min}^2$
- Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{33{,}33} \approx 5{,}77\text{ Minuten}$
- Wahrscheinlichkeit für Wartezeit zwischen 5 und 15 Minuten ($c = 5, d = 15$): $$P(5 \le X \le 15) = F(15) - F(5) = \frac{15 - 0}{20} - \frac{5 - 0}{20} = \frac{10}{20} = 0{,}50\text{ (50,%)}$$
Der Gleichverteilungs-Rechner zeigt diesen Lösungsweg transparent mit Zwischenschritten an.
Typische Anwendungsgebiete
Der Gleichverteilungs-Rechner unterstützt Studierende, Dozenten, Statistiker und Ingenieure in zahlreichen Einsatzbereichen:
- Monte-Carlo-Simulationen: Generierung von Pseudo-Zufallszahlen auf dem Intervall $[0, 1]$ als Grundlage für komplexe stochastische Modelle.
- Qualitätskontrolle & Messtechnik: Modellierung von Rundungsfehlern und gleichmäßig verteilten Toleranzen bei Fertigungsprozessen.
- Warteschlangentheorie: Berechnung von zufälligen Ankunftszeiten und Bedienintervallen bei gleichmäßiger Auslastung.
- Stochastik-Unterricht & Prüfungsvorbereitung: Schneller Abgleich manueller Berechnungen von Dichte, Verteilungsfunktion und Momenten mit dem Gleichverteilungs-Rechner.