ベルトランの逆説計算機の使い方
ベルトランの逆説計算機は、幾何学的確率で有名な「ランダムな弦」の問題を手早く確かめるためのツールです。入力パネルに円の半径 R を入れ、まず強調表示される内接正三角形の一辺 (\sqrt{3}R) を確認します。続いて、弦がこの長さより長くなる確率を、3つの無作為な弦の選び方ごとに比較できます。
半径には 0 より大きい数値を入力してください。単位は任意ですが、表示される正三角形の一辺も同じ単位です。無効な値を入力した場合は、誤解を招く数値の代わりに警告が表示されます。
公式と理論：ベルトランの逆説計算機
この計算機の基準となる長さは、半径 R の円に内接する正三角形の一辺 (\sqrt{3}R) です。問題は「円に無作為に1本の弦を引くとき、その弦が (\sqrt{3}R) より長い確率は？」と尋ねます。しかし、弦を「ランダムに」選ぶ手続きを指定しなければ、確率は1つに定まりません。これがベルトランの逆説です。
円周上の2つの端点を無作為に選ぶ方法では、2つ目の端点が反対側の円周の3分の1に入る場合が該当し、確率は (1/3) です。無作為に選んだ半径上で点を選び、そこを通る垂線を弦とする方法では、点が中心から半径の半分以内にあればよく、確率は (1/2) です。弦の中点を円内で一様に選ぶ方法では、半径 (R/2) の円内だけが該当するため、面積比から (1/4) になります。
この (1/3)、(1/2)、(1/4) は計算ミスではありません。各手続きで「ランダムな弦」の標本空間と確率測度が異なるためです。つまり、無作為の意味を明示しない元の問題だけでは答えが一意に決まらない、という点がベルトランの逆説の核心です。
ベルトランの逆説計算機の用途
ベルトランの逆説計算機は、確率論・幾何学的確率の学習、授業でのデモンストレーション、ランダムな弦の生成方法の比較、(\sqrt{3}R) の計算確認に使えます。3つの方法を並べて見ることで、「同様に確からしい」だけでは確率モデルを定められない理由を直感的に学べます。計算はブラウザ内で行われ、入力内容がサーバーへ送信されることはありません。