3次方程式計算ツールはどのように解を求めていますか？

変数を x = t − b/(3a) と置換して2次の項を消去した還元形（t³ + pt + q = 0）に変換し、判別式（Δ）によって解の分類（カルダノの公式または三角関数法）を行い解を算出します。

判別式（Δ）で何が分かりますか？

Δ > 0 の場合は異なる3つの実数解、Δ ＝ 0 の場合は重解（重根）、Δ < 0 の場合は1つの実数解と2つの互いに共役な複素数解（虚数解）を持ちます。

はい。判別式が負の場合、1つの実数解に加えて a + bi 形式の複素数解を明確にラベル表示します。

いいえ。すべての計算はブラウザ上でリアルタイムに実行され、外部サーバーに送信されることはありません。

3次方程式計算ツールは、一般的な3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の解（根）と判別式、途中計算ステップを瞬時に求めるオンライン数学ツールです。

係数 a の入力 — 3次の項の係数 a を入力します（※ 0 は指定できません）。
係数 b, c, d の入力 — それぞれ 2次の項 b、1次の項 c、定数項 d の値を入力します。
数式のリアルタイムプレビュー — 入力内容に合わせて組み立てられた3次方程式が表示されます。
解（根）と判別式の確認 — 最大3つの解（実数解・複素数解）、判別式 Δ（デルタ）、および解の型分類（3つの実数解 / 重解 / 1実数解と2複素数解）を表示します。
還元形（Depressed Cubic）の確認 — 方程式の変形ステップである t³ + pt + q = 0 の係数を合わせて確認できます。

3次方程式計算ツールでは、代数学におけるカルダノの公式（Cardano’s formula）と還元形変換プロセスを適用しています。

変数変換 $x = t - \frac{b}{3a}$ を行うことで、2次の項（$t^2$）を消去します。

p = (3ac − b²) / (3a²)
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³)
還元形方程式: t³ + pt + q = 0

Δ = −(4p³ + 27q²)

判別式 Δ の値	解の分類（種類）	解法
Δ > 0	異なる3つの実数解	三角関数法（還元不能の場合: Casus Irreducibilis）
Δ = 0	重解（二重解と単解、または三重解）	代数代入式
Δ < 0	1つの実数解＋ 2つの共役複素数解	カルダノの公式

カルダノの公式（Δ < 0 の場合）：

u = ∛(−q/2 + √(−Δ/108))
v = ∛(−q/2 − √(−Δ/108))
実数解 t₁ = u + v
複素数解 t₂,₃ = −(u+v)/2 ± i(√3/2)|u−v|
最後に x = t − b/(3a) へ戻して本来の解 x を算出

高校・大学数学の宿題・問題演習 - 手計算でのカルダノの公式や因数定理・組み立て除法の計算結果の答え合わせに活用できます。
物理学・工学計算 - 運動方程式、制御工学の特性方程式、梁のたわみ計算など、3次方程式が現れる工学計算の解を即座に確認できます。
コンピュータグラフィックス・ゲーム開発 - 3次ベジェ曲線（Bezier curve）の交点判定やレイトリーシングにおける衝突検出アルゴリズムの検証に役立ちます。

3次方程式計算ツールを活用して、代数方程式の解法理解や正確な解の試算にお役立てください。