部分分数分解計算機の使い方
部分分数分解計算機は、有理式をより単純な分数の和に分けるツールです。定数の分子と分母の根を入力すると、各部分分数の係数を表示します。
- 分子の定数 $P$ を入力します。
- 分母の根をカンマで区切って入力します。根 $r_i$ は因子 $(x-r_i)$ に対応します。
- 元の式、因数分解した分母、各係数、完全な部分分数展開を確認します。
対応する根は最大5個で、すべて異なる実数である必要があります。
部分分数分解の計算式
異なる一次因子に対する被覆法（ヘヴィサイドの方法）を使用します。
P / [(x − r₁)(x − r₂)…(x − rₙ)]
= A₁/(x − r₁) + A₂/(x − r₂) + … + Aₙ/(x − rₙ)
Aᵢ = P / ∏_{j ≠ i}(rᵢ − rⱼ)両辺に $(x-r_i)$ を掛け、$x=r_i$ を代入すると、他の項が0になるため係数 $A_i$ を直接求められます。
前提と限界
分子は定数（0次式）であること、分母の根は実数かつ相異なることを前提とします。分子の次数が分母以上の場合は、先に多項式の除法が必要です。重根・既約二次因子はこのツールの対象外です。
活用例
- 積分計算 — 有理関数の積分を対数などの和に分ける前の確認。
- 逆ラプラス変換 — 伝達関数を部分分数へ分解する学習。
- 代数演習 — 有理式の簡約と係数比較の検算。
- 宿題確認 — 手計算した係数の誤りを確認する。