So nutzen Sie den Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner
Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner ist ein interaktives stochastisches Werkzeug zur präzisen Analyse bedingter Wahrscheinlichkeiten. Anhand des klassischen Münzen- und Schachtel-Experiments von Joseph Bertrand veranschaulicht das Tool, wie Vorab-Informationen Wahrscheinlichkeitsräume verändern:
- Kasteninhalte konfigurieren — Tragen Sie die Münzen pro Kasten ein, getrennt durch Kommas, Semikolons oder Zeilenumbrüche (z. B.
GG, SS, GSfür zwei Goldmünzen, zwei Silbermünzen und eine gemischte Schachtel). - Beobachtete Münze wählen — Legen Sie fest, welche Münze im ersten Schritt gezogen wurde (Gold oder Silber).
- Ergebnisse ablesen — Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner gibt in Echtzeit die bedingte Wahrscheinlichkeit als Dezimalwert und Bruch, die Gesamtzahl passender Münzen sowie die günstigen Fälle aus.
Mathematische Grundlagen & Satz von Bayes
Das 1889 von Joseph Bertrand formulierte Bertrandsche Kastenparadoxon lässt sich exakt über die Gesetze der Kolmogorow-Axiomatik und den Satz von Bayes herleiten. Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner nutzt die fundamentale Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$$
Im Standardexperiment existieren drei gleichartige Kästen:
- Kasten 1 ($K_1$): enthält 2 Goldmünzen ($GG$)
- Kasten 2 ($K_2$): enthält 2 Silbermünzen ($SS$)
- Kasten 3 ($K_3$): enthält 1 Goldmünze und 1 Silbermünze ($GS$)
Jeder Kasten besitzt dieselbe A-priori-Wahrscheinlichkeit $P(K_i) = \frac{1}{3}$. Wird eine Goldmünze ($G$) gezogen, ermittelt der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(K_1 \mid G)$, dass Kasten 1 gewählt wurde:
$$P(K_1 \mid G) = \frac{P(G \mid K_1) \cdot P(K_1)}{P(G \mid K_1)P(K_1) + P(G \mid K_2)P(K_2) + P(G \mid K_3)P(K_3)}$$
Mit den Werten $P(G \mid K_1) = 1$, $P(G \mid K_2) = 0$ und $P(G \mid K_3) = \frac{1}{2}$ ergibt sich:
$$P(G) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$$
$$P(K_1 \mid G) = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \approx 66{,}67%$$
Warum die intuitive Vermutung 1/2 falsch ist
Viele Beobachter vermuten intuitiv eine Wahrscheinlichkeit von $1/2$ (50 %), da nach dem Ziehen von Gold nur Kasten 1 ($GG$) und Kasten 3 ($GS$) infrage kommen.
Dieser Denkfehler entsteht, weil Kästen statt der tatsächlich gezogenen Einzelmünzen als gleichwahrscheinlich angenommen werden. Es gibt 3 unterscheidbare Goldmünzen:
- Goldmünze 1A aus Kasten 1
- Goldmünze 1B aus Kasten 1
- Goldmünze 3A aus Kasten 3
In 2 von 3 gleich wahrscheinlichen Ziehungen (1A und 1B) stammt die Münze aus dem Doppelgold-Kasten. Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner macht diese Elementarverteilung transparent sichtbar.
Praxisübersicht aller Ziehungsausgänge
| Gezogene Münze | Kasten | Zweite Münze | Gleiche Münzart? |
|---|---|---|---|
| Gold 1A | Kasten 1 ($GG$) | Gold 1B | Ja (Gold) |
| Gold 1B | Kasten 1 ($GG$) | Gold 1A | Ja (Gold) |
| Gold 3A | Kasten 3 ($GS$) | Silber 3B | Nein (Silber) |
| Silber 2A | Kasten 2 ($SS$) | Silber 2B | Ja (Silber) |
| Silber 2B | Kasten 2 ($SS$) | Silber 2A | Ja (Silber) |
| Silber 3B | Kasten 3 ($GS$) | Gold 3A | Nein (Gold) |
Abgrenzung zum geometrischen Bertrand-Paradoxon
Das Kastenparadoxon ist strikt vom geometrischen Bertrand-Paradoxon zu trennen: Während das Kastenparadoxon eine eindeutige diskrete Lösung ($2/3$) besitzt, befasst sich das geometrische Problem mit Sehnenlängen in Kreisen, bei dem je nach Zufallsdefinition unterschiedliche Werte ($1/3$, $1/2$, $1/4$) entstehen. Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner widmet sich gezielt dem diskreten Schachtelmodell.
Einsatzbereiche für den Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner
Der Bertrand-Kasten-Paradoxon-Rechner eignet sich für:
- Schule & Abitur: Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und des Satzes von Bayes in Stochastik-Kursen.
- Studium & Data Science: Fundiertes Verständnis für A-priori- und A-posteriori-Verteilungen.
- Entscheidungsanalyse: Analogie zum Monty-Hall-Problem (Ziegenproblem) zur Vermeidung kognitiver Verzerrungen.