ベルトランの箱パラドックス計算機の使い方
ベルトランの箱パラドックス計算機では、箱の中身と最初に観測した硬貨の種類を指定して、観測後に残った硬貨が同じ種類である確率を確認できます。箱の中身には、標準例の GG, SS, GS のように、G（金貨）と S（銀貨）を箱ごとに入力します。入力はカンマ、セミコロン、改行で区切れます。右側の結果には、条件付き確率、分数、観測可能な硬貨の数、条件を満たす有利な結果の数が表示されます。
GG, SS, GS で「金貨」を選ぶと、観測できる金貨の結果は GG の1枚目、GG の2枚目、GS の金貨の3通りです。そのうち残りも金貨になるのは GG の2通りなので、結果は 2/3 = 66.6667% になります。「銀貨」を選んだ場合も同様に、SS の2通りが有利となり 2/3 です。
公式と原理｜ベルトランの箱 パラドックス
この計算機の中心となるのは、観測した結果を条件として標本空間を絞り込む条件付き確率です。一般に、条件 B のもとで事象 A が起こる確率は次のように表します。
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
標準のベルトランの箱問題では、金貨2枚の箱を GG、銀貨2枚の箱を SS、金貨と銀貨が1枚ずつの箱を GS とします。箱を一様に選び、その箱から硬貨を1枚一様に取り出し、金貨だったと分かったとします。このとき、金貨を観測できる結果は GG の2通りと GS の1通りで、同じ種類の硬貨が残るのはそのうち GG の2通りです。したがって、残りも金貨である確率は 2/3 です。銀貨についても対称的に 2/3 となります。
一見すると、金貨が出た箱は GG と GS の2候補だから 1/2 と思いやすいのが、この確率パラドックスのポイントです。しかし、GG では金貨を観測する方法が2通りあり、GS では1通りしかありません。箱の名前だけでなく、実際に観測され得る硬貨の結果を数える必要があります。これはベイズの定理で説明することもできます。
この説明が成り立つ前提は、各箱を同じ確率で選ぶこと、各箱に2枚の硬貨があること、選んだ箱から1枚を一様に取り出すこと、そして観測した硬貨の種類だけを条件として扱うことです。箱の選び方や抽出方法を変えると、確率も変わります。標準モデルと異なる長さの文字列を入力した場合は、表示された計数をそのモデルの結果として解釈してください。
ベルトランの箱パラドックス計算機の利用例
この計算機は、条件付き確率の学習、確率 パラドックスの授業や発表、ベイズの定理の直感的な確認、宿題の計算チェックに利用できます。入力を変えて、金貨を条件にした場合と銀貨を条件にした場合の対称性や、箱の構成を変えたときの結果を比較できます。数値だけでなく分数と中間の件数も表示するため、手計算の確認にも役立ちます。