Der Kreissatz-Rechner ermöglicht Ihnen die präzise und schnelle Berechnung unbekannter Winkel in der ebenen Kreisgeometrie. Wählen Sie den gewünschten mathematischen Satz aus, tragen Sie die bekannten Werte ein und lassen Sie den Kreissatz-Rechner das exakte Winkelmaß samt Formel und Lösungsweg ermitteln.
So nutzen Sie den Kreissatz-Rechner
Die Bedienung im Kreissatz-Rechner ist intuitiv aufgebaut und liefert in drei einfachen Schritten verlässliche Ergebnisse:
- Kreissatz auswählen — Wählen Sie im Dropdown-Menü des Werkzeugs einen der sechs hinterlegten geometrischen Lehrsätze aus (beispielsweise den Mittelpunktswinkelsatz oder den Satz des Thales).
- Bekannten Winkel eingeben — Tragen Sie den gegebenen Winkelwert in Grad (°) in das Eingabefeld ein. Bei Sätzen mit invariantem Ergebnis (etwa dem Satz des Thales oder dem Tangenten-Radius-Satz) blendet der Kreissatz-Rechner die Lösung ohne zusätzliche Eingabe ein.
- Ergebnis & Lösungsweg ablesen — Die Anwendung zeigt Ihnen unmittelbar den gesuchten Winkel sowie die angewendete Berechnungsformel an.
Mathematische Formeln im Überblick
Die klassische euklidische Geometrie beschreibt feste Gesetzmäßigkeiten zwischen Mittelpunktswinkeln, Umfangswinkeln, Sehnen und Tangenten. Folgende Lehrsätze wertet der Kreissatz-Rechner aus:
1. Mittelpunktswinkelsatz (Zentriwinkelsatz):
Mittelpunktswinkel = 2 × Umfangswinkel
→ Umfangswinkel = Mittelpunktswinkel / 2
2. Satz des Thales (Winkel im Halbkreis):
Umfangswinkel im Halbkreis = 90° (immer rechtwinklig)
3. Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz):
Alle Umfangswinkel über demselben Kreisbogen sind identisch groß.
→ Gesuchter Umfangswinkel = Gegebener Umfangswinkel
4. Tangenten-Radius-Satz:
Winkel zwischen Tangente und Berührungsradius = 90° (Orthogonalität)
5. Sehnen-Tangenten-Winkel-Satz:
Sehnen-Tangenten-Winkel = Eingeschlossener Bogenwinkel / 2
6. Satz vom Sehnenviereck:
Gegenüberliegende Innenwinkel ergänzen sich zu 180°.
→ Gegenüberliegender Winkel = 180° − Bekannter Innenwinkel| Kreissatz | Eingabewert | Berechnetes Ergebnis |
|---|---|---|
| Mittelpunktswinkelsatz | Mittelpunktswinkel (°) | Umfangswinkel (°) |
| Satz des Thales | Keine Eingabe erforderlich | 90° |
| Umfangswinkelsatz | Gegebener Umfangswinkel (°) | Identischer Umfangswinkel (°) |
| Tangenten-Radius-Satz | Keine Eingabe erforderlich | 90° |
| Sehnen-Tangenten-Satz | Bogenwinkel (°) | Sehnen-Tangenten-Winkel (°) |
| Sehnenviereck | Bekannter Innenwinkel (°) | Gegenüberliegender Winkel (°) |
Geometrische Grundlagen im Detail
- Mittelpunkts- und Umfangswinkel: Liegen ein Zentriwinkel und ein Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen, so ist der Zentriwinkel stets doppelt so groß wie der Peripheriewinkel.
- Satz des Thales: Dreiecke über dem Durchmesser eines Thaleskreises besitzen an der Kreislinie stets einen rechten Winkel von 90°.
- Sehnenviereck: Befinden sich alle vier Eckpunkte eines Vierecks auf einer Kreislinie, so beträgt die Summe gegenüberliegender Innenwinkel immer 180°.
Voraussetzungen und Definitionsbereiche
Für mathematisch einwandfreie Resultate setzt der Kreissatz-Rechner eine euklidische Ebene voraus. Alle Winkelmaße müssen im definierten Intervall liegen:
- Bogenwinkel: $0^\circ < \alpha < 360^\circ$
- Umfangswinkel und Innenwinkel: $0^\circ < \alpha < 180^\circ$
Praxisbeispiele zur Winkelberechnung
- Umfangswinkel berechnen: Beträgt ein gegebener Zentriwinkel $84^\circ$, ermittelt der Kreissatz-Rechner für den zugehörigen Umfangswinkel $84^\circ / 2 = 42^\circ$.
- Gegenwinkel im Sehnenviereck: Bei einem bekannten Innenwinkel von $115^\circ$ errechnet der Kreissatz-Rechner den gegenüberliegenden Winkel zu $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.
- Sehnen-Tangenten-Winkel: Für einen Bogenwinkel von $130^\circ$ liefert das Tool den Sehnen-Tangenten-Winkel $130^\circ / 2 = 65^\circ$.
Typische Anwendungsbereiche
Der Kreissatz-Rechner ist ein bewährtes Werkzeug für Schüler, Lehrkräfte, Ingenieure und Gestalter:
- Mathematikunterricht & Hausaufgaben — Schnelle Selbstkontrolle bei geometrischen Beweisen und Winkelberechnungen.
- Prüfungsvorbereitung — Festigung der Zusammenhänge zwischen Kreisbögen, Sehnen und Winkelsätzen.
- Konstruktion & CAD — Überprüfung von Tangenten- und Bogenwinkeln im Maschinenbau und in der Architektur.
Mit dem Kreissatz-Rechner analysieren Sie Kreisgeometrien strukturiert, zeitsparend und verlässlich.