Wie viele Wurzeln liefert der Komplexe-Wurzeln-Rechner?

Für den gewählten Wurzelgrad n liefert der Komplexe-Wurzeln-Rechner genau n verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln), die gleichmäßig auf einem Kreis in der Gaußschen Zahlenebene verteilt sind.

Welche Eingabeformate unterstützt der Komplexe-Wurzeln-Rechner?

Sie können komplexe Zahlen wahlweise als algebraischen Ausdruck (z. B. 1 + i), getrennt nach Real- und Imaginärteil oder in Polarform mit Radius r und Winkel in Grad eingeben.

Wie lautet die Formel zur Berechnung der n-ten Wurzel?

Die Berechnung erfolgt nach dem Satz von de Moivre: wk = n-te Wurzel(r) * [cos((phi + 2*pi*k)/n) + i * sin((phi + 2*pi*k)/n)] für k = 0, 1, ..., n - 1.

Was versteht man unter den n-ten Einheitswurzeln?

Einheitswurzeln sind die n Lösungen der Gleichung w^n = 1. Sie besitzen alle den Betrag r = 1 und bilden in der Gaußschen Zahlenebene ein regelmäßiges n-Eck.

Werden meine eingegebenen Daten auf einem Server gespeichert?

Nein. Der Komplexe-Wurzeln-Rechner führt alle Berechnungen vollständig lokal in Ihrem Webbrowser aus. Es werden keine Daten übertragen oder gespeichert.

Komplexe-Wurzeln-Rechner

So nutzen Sie den Komplexe-Wurzeln-Rechner

Der Komplexe-Wurzeln-Rechner ermittelt zuverlässig sämtliche $n$-ten Wurzeln einer beliebigen komplexen Zahl $z$. Ob für Aufgaben im Mathematikstudium, die Elektrotechnik oder die digitale Signalverarbeitung: Der Komplexe-Wurzeln-Rechner liefert sowohl die algebraische Darstellung ($a + bi$) als auch den Betrag (Modulus) und das Argument (Winkel) für jede einzelne Wurzel.

Eingabemodus wählen — Wählen Sie im Komplexe-Wurzeln-Rechner zwischen:
- Ausdruck: Direkte Eingabe als Term (z. B. 1 + i, 3 - 4i oder -8).
- Real- & Imaginärteil: Getrennte Eingabe von Realteil ($a$) und Imaginärteil ($b$).
- Polarform: Eingabe über den Radius ($r$) und den Polarwinkel in Grad ($\theta$).
Wurzelgrad festlegen — Geben Sie den gewünschten Wurzelexponenten $n$ ein (ganze Zahl von 2 bis 24).
Ergebnisse ablesen — Der Komplexe-Wurzeln-Rechner berechnet in Echtzeit alle $n$ Wurzeln inklusive Betrag und Phasenwinkel in Radiant.

Mathematische Grundlagen & Satz von de Moivre

Um die $n$-te Wurzel aus einer komplexen Zahl $z = a + bi$ zu ziehen, wandelt der Komplexe-Wurzeln-Rechner die Zahl zunächst in die trigonometrische Polarform bzw. Exponentialform um:

$$z = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}$$

Hierbei ist $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ der Betrag und $\varphi = \operatorname{atan2}(b, a)$ das Argument der komplexen Zahl.

Nach dem Satz von de Moivre ergeben sich die $n$ verschiedenen Wurzeln $w_k$ für $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ durch die Formel:

$$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos\left( \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i \sin\left( \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) \right) = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \frac{\varphi + 2\pi k}{n}}$$

Parameter	Bezeichnung	Bedeutung im Komplexe-Wurzeln-Rechner
z	Ausgangszahl	Gegebene komplexe Zahl ($a + bi$ oder $r \cdot e^{i\varphi}$)
n	Wurzelgrad	Anzahl der zu bestimmenden Wurzeln ($2 \le n \le 24$)
r	Betrag (Radius)	Abstand der Zahl $z$ vom Ursprung ($r = \sqrt{a^2 + b^2}$)
$\varphi$	Argument (Winkel)	Phasenwinkel der komplexen Zahl in der Gaußschen Ebene
k	Indexzähler	Ganzzahliger Index von $0$ bis $n-1$ für alle Teillösungen
$w_k$	$k$-te Wurzel	Einzelne Wurzel in kartesischer Form ($a_k + b_k i$)

Geometrische Bedeutung in der Gaußschen Zahlenebene

In der komplexen Zahlenebene liegen alle $n$ Wurzeln auf einem gemeinsamen Kreis um den Ursprung mit dem Radius $R = \sqrt[n]{r}$. Der Winkelabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wurzeln beträgt exakt $\frac{2\pi}{n}$ bzw. $\frac{360^\circ}{n}$. Dadurch bilden die Wurzeln die Eckpunkte eines regelmäßigen $n$-Ecks.

Schritt-für-Schritt-Beispiel: 3. Wurzeln aus $z = 8i$

Betrachten wir als praktisches Rechenbeispiel die Bestimmung aller dritten Wurzeln ($n = 3$) aus der rein imaginären Zahl $z = 8i$:

Polarform bestimmen:
- Realteil $a = 0$, Imaginärteil $b = 8$
- Betrag: $r = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8$
- Winkel: $\varphi = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$
Wurzelbetrag berechnen:
- Radius der Wurzeln: $R = \sqrt[3]{8} = 2$
Einzelne Wurzeln nach de Moivre ermitteln:
- Für $k = 0$: $\theta_0 = \frac{\pi/2 + 0}{3} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$
  $w_0 = 2 \cdot (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) = \sqrt{3} + i \approx 1{,}732 + 1{,}000i$
- Für $k = 1$: $\theta_1 = \frac{\pi/2 + 2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$
  $w_1 = 2 \cdot (\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ) = -\sqrt{3} + i \approx -1{,}732 + 1{,}000i$
- Für $k = 2$: $\theta_2 = \frac{\pi/2 + 4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} = 270^\circ$
  $w_2 = 2 \cdot (\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ) = 0 - 2i = -2i$

Der Komplexe-Wurzeln-Rechner führt all diese Rechenschritte automatisch in Sekundenbruchteilen aus und liefert die präzisen Zahlenwerte.

Typische Anwendungsbereiche

Der Komplexe-Wurzeln-Rechner unterstützt Studierende, Ingenieure und Wissenschaftler bei vielfältigen Berechnungen:

Elektrotechnik & Wechselstromlehre: Analyse komplexer Wechselstromnetzwerke, Phasoren und Impedanzen.
Signalverarbeitung & Fourier-Transformation: Berechnung diskreter Fourier-Transformationen (DFT/FFT) unter Nutzung von Einheitswurzeln (Twiddle-Faktoren).
Höhere Mathematik & Algebra: Schnelles Lösen von Polynomgleichungen der Form $w^n - z = 0$ sowie das Überprüfen von Hausaufgaben.
Regelungstechnik & Systemtheorie: Polstellen- und Nullstellenbestimmung komplexer Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich.

Mit dem benutzerfreundlichen Komplexe-Wurzeln-Rechner überprüfen Sie Ihre mathematischen Rechenwege schnell und fehlerfrei!