Was ist die Eigenleitungskonzentration ni bei Halbleitern?

Die Eigenleitungskonzentration ni (auch intrinsische Ladungsträgerdichte genannt) gibt die Anzahl der thermisch generierten freien Elektronen im Leitungsband und Löcher im Valenzband eines reinen, undotierten Halbleiters im thermischen Gleichgewicht an.

Wie hoch ist die Eigenleitungskonzentration von Silizium bei Raumtemperatur?

Bei 300 Kelvin (ca. 27 °C) liegt die Eigenleitungskonzentration von Silizium typischerweise bei rund 1,0 · 10^10 cm^-3. In der Fachliteratur finden sich je nach verwendetem Modell Werte zwischen 8,6 · 10^9 und 1,5 · 10^10 cm^-3.

Warum wächst ni mit steigender Temperatur exponentiell an?

Weil die Elektronen die Bandlücke thermisch überwinden müssen. Der Boltzmann-Term exp(-Eg / 2kT) bewirkt, dass mit zunehmender thermischer Energie kT die Generationsrate freier Elektron-Loch-Paare überproportional steil ansteigt.

Gilt das Massenwirkungsgesetz n · p = ni² auch für dotierte Halbleiter?

Ja, im thermodynamischen Gleichgewicht bleibt die Beziehung n · p = ni² auch bei dotierten n-Typ- und p-Typ-Halbleitern exakt gültig. Durch Erhöhung der Majoritätsträgerkonzentration sinkt die Minoritätsträgerdichte entsprechend.

Werden bei der Nutzung des Rechners Daten gespeichert?

Nein. Alle Berechnungen im Eigenleitungskonzentrations-Rechner werden direkt lokal in Ihrem Webbrowser ausgeführt; es werden keinerlei Eingaben an externe Server übertragen.

Eigenleitungskonzentrations-Rechner

Anleitung zur Nutzung: Eigenleitungskonzentrations-Rechner

Mit dem Eigenleitungskonzentrations-Rechner können Sie die intrinsische Ladungsträgerdichte ($n_i$) für Halbleitermaterialien wie Silizium (Si), Germanium (Ge) oder Galliumarsenid (GaAs) exakt ermitteln. Der Eigenleitungskonzentrations-Rechner verarbeitet die wesentlichen physikalischen Materialparameter und liefert neben dem Endergebnis auch alle relevanten Zwischenschritte der thermodynamischen Exponentialfunktion.

Effektive Zustandsdichte im Leitungsband ($N_c$) eingeben: Tragen Sie den materialspezifischen Wert in $\text{cm}^{-3}$ ein (z. B. $2{,}8 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$ für Silizium bei 300 K).
Effektive Zustandsdichte im Valenzband ($N_v$) eingeben: Geben Sie den Wert in $\text{cm}^{-3}$ ein (z. B. $1{,}04 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$ für Silizium bei 300 K).
Bandlücke ($E_g$) festlegen: Geben Sie den Bandabstand in Elektronenvolt ($\text{eV}$) ein (z. B. $1{,}12 \text{ eV}$ für Silizium).
Absolute Temperatur ($T$) bestimmen: Geben Sie die Temperatur in Kelvin ein (z. B. $300 \text{ K}$ für Raumtemperatur).
Ergebnis analysieren: Der Eigenleitungskonzentrations-Rechner berechnet sofort die resultierende Eigenleitungskonzentration $n_i$ in $\text{cm}^{-3}$ sowie das geometrische Mittel $\sqrt{N_c N_v}$ und den Boltzmann-Faktor.

Formel und physikalische Grundlagen – Eigenleitungskonzentrations-Rechner

Der Eigenleitungskonzentrations-Rechner basiert auf der klassischen statistischen Halbleiterphysik im thermodynamischen Gleichgewicht:

ni = sqrt(Nc * Nv) * exp(-Eg / (2 * k * T))

Hierbei stehen die Symbole für folgende physikalische Größen:

$n_i$: Eigenleitungskonzentration bzw. intrinsische Ladungsträgerdichte (in $\text{cm}^{-3}$)
$N_c$: Effektive Zustandsdichte des Leitungsbands (in $\text{cm}^{-3}$)
$N_v$: Effektive Zustandsdichte des Valenzbands (in $\text{cm}^{-3}$)
$E_g$: Bandlücke bzw. Bandabstand des Halbleiters (in $\text{eV}$)
$k$: Boltzmann-Konstante ($k_B \approx 8{,}617333 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$)
$T$: Absolute Temperatur (in $\text{Kelvin}$)

Massenwirkungsgesetz und Dotierung

In einem undotierten (intrinsischen) Halbleiter entstehen freie Ladungsträger ausschließlich durch thermische Generation paarweise als Elektron-Loch-Paare. Es gilt exakt $n = p = n_i$. Durch das fundamentale Massenwirkungsgesetz bleibt das Produkt aus Elektronenkonzentration $n$ und Löcherkonzentration $p$ auch bei dotierter Halbleitermaterie im thermischen Gleichgewicht konstant:

n * p = ni^2

Steigt die Temperatur eines dotierten Halbleiterbauelements übermäßig an, wächst $n_i$ exponentiell. Übersteigt die thermische Eigenleitungskonzentration die Dotierstoffkonzentration, geht das Bauteil in die Eigenleitung über und verliert seine Funktion als pn-Übergang.

Typische Referenzwerte bei Raumtemperatur (300 K)

Halbleitermaterial	Bandlücke $E_g$ (eV)	$N_c$ ($\text{cm}^{-3}$)	$N_v$ ($\text{cm}^{-3}$)	Eigenleitungskonzentration $n_i$ ($\text{cm}^{-3}$)
Silizium (Si)	$1{,}12$	$2{,}8 \times 10^{19}$	$1{,}04 \times 10^{19}$	$\approx 1{,}0 \times 10^{10}$
Germanium (Ge)	$0{,}66$	$1{,}04 \times 10^{19}$	$6{,}0 \times 10^{18}$	$\approx 2{,}4 \times 10^{13}$
Galliumarsenid (GaAs)	$1{,}42$	$4{,}7 \times 10^{17}$	$7{,}0 \times 10^{18}$	$\approx 2{,}1 \times 10^{6}$

Der Eigenleitungskonzentrations-Rechner verdeutlicht anschaulich, warum Germanium aufgrund seiner geringeren Bandlücke einen viel höheren Leckstrom aufweist als Silizium oder GaAs.

Anwendungsbereiche für den Eigenleitungskonzentrations-Rechner

Studium und Lehre: Studierende der Physik, Elektrotechnik und Mikrosystemtechnik nutzen den Eigenleitungskonzentrations-Rechner, um die Auswirkung von Temperatur- und Bandlückenvariationen transparent nachzuvollziehen.
Halbleiterentwicklung & Bauelementesimulation: Schnelle Plausibilitätsprüfungen für Dioden, MOSFETs, Bipolartransistoren und Photodioden.
Solarzellenforschung: Bestimmung des thermodynamischen Rekombinationsverhaltens und der Leerlaufspannung in Photovoltaik-Zellen.
Prüfung thermischer Grenzen: Mit dem Eigenleitungskonzentrations-Rechner lässt sich genau abschätzen, bei welcher Maximaltemperatur ein dotierter Silizium-Chip durch Eigenleitungsausfall unbrauchbar wird.