So nutzen Sie den Mohrschen Spannungskreis Rechner
Der Mohrsche Spannungskreis Rechner dient der schnellen und präzisen Analyse zweidimensionaler ebener Spannungszustände in der Festigkeitslehre und Technischen Mechanik:
- Normalspannungen eingeben — Tragen Sie die Normalspannung $\sigma_x$ (in x-Richtung) und die Normalspannung $\sigma_y$ (in y-Richtung) in den Mohrscher Spannungskreis Rechner ein. Verwenden Sie positive Werte für Zugspannungen und negative Werte für Druckspannungen.
- Schubspannung erfassen — Geben Sie die wirkende Schubspannung $\tau_{xy}$ in das entsprechende Feld ein.
- Drehwinkel festlegen (optional) — Wenn Sie die transformierten Spannungen für eine gedrehte Schnittebene ermitteln möchten, tragen Sie den Transformationswinkel $\theta$ in Grad in den Mohrscher Spannungskreis Rechner ein.
- Einheit wählen — Wählen Sie Ihre gewünschte Spannungseinheit ($\text{MPa}$, $\text{kPa}$, $\text{Pa}$, $\text{psi}$ oder $\text{bar}$). Der Mohrscher Spannungskreis Rechner rechnet alle Größen konsistent um.
- Ergebnisse ablesen — Sie erhalten unmittelbar die 1. Hauptspannung $\sigma_1$, die 2. Hauptspannung $\sigma_2$, den Kreismittelpunkt $C$, den Kreisradius $R$ (entspricht der maximalen Schubspannung $\tau_{\max}$) sowie die transformierten Spannungen $\sigma_x’$, $\sigma_y’$ und $\tau_{x’y’}$.
Formeln & Mechanische Grundlagen – Mohrscher Spannungskreis Rechner
Die mathematische Grundlage für den Mohrscher Spannungskreis Rechner basiert auf den Transformationsgleichungen der Elastostatik für den ebenen Spannungszustand (ESZ):
C = (sigma x + sigma y)/2; R = sqrt(((sigma x - sigma y)/2)^2 + tau xy^2); sigma1,2 = C +/- RAus den gegebenen Spannungskomponenten ($\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$) berechnet der Mohrscher Spannungskreis Rechner folgende Kennwerte:
- Kreismittelpunkt (Mittlere Normalspannung): $$C = \sigma_m = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$$
- Kreisradius (Maximale Schubspannung): $$R = \tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
- Hauptspannungen ($\sigma_1, \sigma_2$): $$\sigma_1 = C + R = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$ $$\sigma_2 = C - R = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
- Hauptspannungswinkel ($\theta_p$): $$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$
- Spannungstransformation bei Drehwinkel $\theta$: $$\sigma_x’ = C + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta)$$ $$\sigma_y’ = C - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos(2\theta) - \tau_{xy}\sin(2\theta)$$ $$\tau_{x’y’} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin(2\theta) + \tau_{xy}\cos(2\theta)$$
| Parameter | Beschreibung | Physikalische Bedeutung |
|---|---|---|
| $\sigma_x, \sigma_y$ | Ausgangs-Normalspannungen | Zug- (>0) oder Druckspannungen (<0) auf den Koordinatenflächen |
| $\tau_{xy}$ | Ausgangs-Schubspannung | Tangentialspannung auf dem infinitesimalen Flächenelement |
| $C$ ($\sigma_m$) | Kreismittelpunkt | Durchschnittliche hydrostatische 2D-Normalspannung |
| $R$ ($\tau_{\max}$) | Kreisradius | Absolute maximale Schubspannung in der Ebene |
| $\sigma_1, \sigma_2$ | Hauptspannungen | Extremalspannungen bei verschwindender Schubspannung |
| $\theta_p$ | Hauptspannungswinkel | Neigung der Hauptspannungsebenen gegenüber der x-Achse |
Beispielrechnung im Mohrschen Spannungskreis Rechner
Ein infinitesimales Werkstoffelement wird durch folgende ebene Spannungen beansprucht:
- $\sigma_x = 80,\text{MPa}$ (Zug)
- $\sigma_y = 20,\text{MPa}$ (Zug)
- $\tau_{xy} = 30,\text{MPa}$
- Drehwinkel $\theta = 20^\circ$
So ermittelt der Mohrscher Spannungskreis Rechner die Werte Schritt für Schritt:
- Mittelpunkt berechnen: $$C = \frac{80 + 20}{2} = 50,\text{MPa}$$
- Radius berechnen: $$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} \approx 42{,}43,\text{MPa}$$
- Hauptspannungen bestimmen: $$\sigma_1 = 50 + 42{,}43 = 92{,}43,\text{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42{,}43 = 7{,}57,\text{MPa}$$
- Transformierte Spannungen bei $\theta = 20^\circ$ ($2\theta = 40^\circ$): $$\sigma_x’ = 50 + 30\cos(40^\circ) + 30\sin(40^\circ) = 50 + 22{,}98 + 19{,}28 = 92{,}26,\text{MPa}$$ $$\sigma_y’ = 50 - 30\cos(40^\circ) - 30\sin(40^\circ) = 50 - 22{,}98 - 19{,}28 = 7{,}74,\text{MPa}$$ $$\tau_{x’y’} = -30\sin(40^\circ) + 30\cos(40^\circ) = -19{,}28 + 22{,}98 = 3{,}70,\text{MPa}$$
Der Mohrsche Spannungskreis Rechner liefert diese Kennwerte auf Knopfdruck samt transparenter Rechenschritte.
Typische Anwendungsbereiche für den Mohrschen Spannungskreis Rechner
In Studium, Forschung und industrieller Konstruktionspraxis ist der Mohrsche Spannungskreis Rechner ein unentbehrliches Hilfsmittel:
- Maschinenbau & Bauteilauslegung — Ermittlung von Vergleichsspannungen nach der Hauptnormalspannungshypothese oder Schubspannungshypothese bei kombinierten Biege- und Torsionsbelastungen von Wellen.
- Bauingenieurwesen & Geotechnik — Bestimmung von Hauptspannungen in Scheiben, Trägern, Fundamenten und Erdböden nach dem Mohr-Coulomb-Kriterium.
- Studium der Technischen Mechanik — Schnelle Kontrolle von Übungsaufgaben und Klausurvorbereitungen zur Elastostatik und Festigkeitslehre mit dem Mohrscher Spannungskreis Rechner.
- Experimentelle Spannungsanalyse — Auswertung von Dehnungsmessstreifen-Rosetten (DMS) und Umrechnung gemessener Dehnungen in mechanische Hauptspannungen.
Annahmen und Grenzen der 2D-Spannungstransformation
Der Mohrsche Spannungskreis Rechner geht von einem linearen, isotropen und homogenen Materialverhalten im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie aus. Für räumliche (dreidimensionale) Spannungszustände mit drei Hauptspannungen ($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$) liefert das zweidimensionale Modell Näherungen für Schnittebenen parallel zu einer Hauptachse. Für sicherheitsrelevante Bauteilprüfungen sollte der Mohrscher Spannungskreis Rechner zur Vorprüfung genutzt und durch FEM-Simulationen ergänzt werden.