So nutzen Sie den Querkontraktionszahl-Rechner
Der Querkontraktionszahl-Rechner ermöglicht Ihnen die unkomplizierte Bestimmung der Poissonzahl $\nu$ direkt im Browser. Führen Sie die Berechnung in wenigen Schritten durch:
- Eingabeeinheit wählen — Wählen Sie das Dehnungsformat für Ihre Messwerte: Verhältnis (Dehnungszahl $\Delta l/l_0$), Prozent (%) oder Mikrodehnung ($\mu\varepsilon$ bzw. $\mu\text{m/m}$).
- Axiale Längsdehnung ($\varepsilon_{\text{axial}}$) eingeben — Tragen Sie die relative Verformung entlang der Lastachse ein (z. B. Zugdehnung im Zugversuch).
- Transversale Querdehnung ($\varepsilon_{\text{quer}}$) eingeben — Geben Sie die Querverformung senkrecht zur Lastachse an (bei Zugversuchen typischerweise negativ).
- Ergebnis analysieren — Der Querkontraktionszahl-Rechner berechnet sofort die Poissonzahl $\nu$, zeigt die normierten Dehnungsverhältnisse an und liefert eine werkstofftechnische Einordnung.
Mit dem Querkontraktionszahl-Rechner überprüfen Sie experimentelle Kennwerte aus Dehnungsmessstreifen (DMS) oder Zugversuchen ohne manuelle Umrechnungsfehler.
Formel & Theorie – Querkontraktionszahl-Rechner
Die Querkontraktionszahl (in der Festigkeitslehre und Elastizitätstheorie nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt) ist als negatives Verhältnis von Quer- zu Längsdehnung definiert:
$$\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{quer}}}{\varepsilon_{\text{axial}}} = -\frac{\Delta d / d_0}{\Delta l / l_0}$$
Hierbei stehen die Formelzeichen für:
- $\nu$ (oder $\mu$): Querkontraktionszahl bzw. Poissonzahl (dimensionslos)
- $\varepsilon_{\text{quer}}$: Transversale Dehnung senkrecht zur Belastungsrichtung ($\Delta d / d_0$)
- $\varepsilon_{\text{axial}}$: Axiale Dehnung in Belastungsrichtung ($\Delta l / l_0$)
- $d_0$, $\Delta d$: Ursprünglicher Durchmesser (bzw. Querschnittsabmessung) und dessen Änderung
- $l_0$, $\Delta l$: Ursprüngliche Messlänge und Längenänderung
Elastische Werkstoffbeziehungen für isotrope Körper
In der Kontinuumsmechanik verknüpft die Poissonzahl die grundlegenden elastischen Konstanten:
$$E = 2 \cdot G \cdot (1 + \nu) = 3 \cdot K \cdot (1 - 2\nu)$$
Daraus lässt sich die Poissonzahl ableiten, wenn Elastizitätsmodul ($E$) und Schubmodul ($G$) bekannt sind:
$$\nu = \frac{E}{2G} - 1$$
Für thermodynamisch stabile, isotrope Festkörper liegt die Querkontraktionszahl im theoretischen Intervall:
$$-1 < \nu \le 0{,}5$$
In der industriellen Praxis der Festigkeitslehre nutzen Ingenieure den Querkontraktionszahl-Rechner, um mehrachsige Spannungszustände (Hookesches Gesetz im Raum) präzise zu modellieren.
Typische Werkstoffkennwerte für die Poissonzahl
Zur schnellen Überprüfung Ihrer Messungen im Querkontraktionszahl-Rechner gibt die folgende Übersicht typische Referenzwerte gebräuchlicher Werkstoffe:
| Werkstoff | Querkontraktionszahl $\nu$ | Werkstoffcharakteristik |
|---|---|---|
| Kautschuk / Gummi | $\approx 0{,}49 - 0{,}50$ | Nahezu inkompressibel, stark volumenerhaltend |
| Blei | $\approx 0{,}44$ | Weichmetall mit ausgeprägter Querdehnung |
| Kupfer & Messing | $\approx 0{,}34 - 0{,}37$ | Duktile Nichteisenmetalle |
| Aluminium & Titan | $\approx 0{,}33 - 0{,}34$ | Typische Leichtbau- und Konstruktionsmetalle |
| Baustahl & Edelstahl | $\approx 0{,}27 - 0{,}30$ | Standardbaustähle im elastischen Bereich |
| Gusseisen | $\approx 0{,}21 - 0{,}26$ | Spröderes Metallgefüge |
| Beton | $\approx 0{,}10 - 0{,}20$ | Mineralischer Baustoff unter Druckspannung |
| Glas & Keramik | $\approx 0{,}18 - 0{,}24$ | Hochsteife, spröde Werkstoffe |
| Kork | $\approx 0{,}00$ | Keine Querdehnung bei axialer Stauchung |
| Auxetische Schäume | $< 0$ (z. B. $-0{,}3$ bis $-0{,}7$) | Querausdehnung unter Zugbelastung |
Berechnungsbeispiel: Zugversuch an einer Stahlprobe
Ein genormter Rundstab aus Baustahl mit einer Anfangslänge $l_0 = 100,\text{mm}$ und einem Anfangsdurchmesser $d_0 = 10,\text{mm}$ wird im elastischen Bereich auf Zug belastet. Die Messung mit Dehnungsmessstreifen (DMS) liefert folgende Werte:
- Gemessene Längenänderung: $\Delta l = +0{,}20,\text{mm}$
- Gemessene Durchmesseränderung: $\Delta d = -0{,}018,\text{mm}$
1. Berechnung der Dehnungen
$$\varepsilon_{\text{axial}} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{+0{,}20,\text{mm}}{100,\text{mm}} = +0{,}0020 = +2000,\mu\varepsilon$$
$$\varepsilon_{\text{quer}} = \frac{\Delta d}{d_0} = \frac{-0{,}018,\text{mm}}{10,\text{mm}} = -0{,}0018 = -1800,\mu\varepsilon$$
2. Berechnung der Poissonzahl im Querkontraktionszahl-Rechner
$$\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{quer}}}{\varepsilon_{\text{axial}}} = -\frac{-0{,}0018}{0{,}0020} = +0{,}30$$
Der Querkontraktionszahl-Rechner bestätigt exakt den Tabellenwert für Baustahl ($\nu = 0{,}30$).
Anwendungsbereiche für den Querkontraktionszahl-Rechner
Der Querkontraktionszahl-Rechner ist ein unverzichtbares Werkzeug für Konstruktion, Werkstoffprüfung und numerische Simulation:
- Finite-Elemente-Methode (FEM): Definition der elastischen Materialmatrix (Steifigkeitsmatrix) in CAD- und Simulationsprogrammen wie ANSYS, Abaqus oder SolidWorks.
- DMS-Spannungsanalyse: Ermittlung von zwei- und dreiachsigen Spannungszuständen aus mehrachsigen Dehnungsmessstreifen-Rosetten.
- Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung (ZfP): Bestimmung elastischer Konstanten über Ultraschall-Schallgeschwindigkeiten (Longitudinal- und Transversalwellen).
- Geotechnik & Tunnelbau: Abschätzung von Gebirgsdruck und Querdehnungsverhalten von Gesteinsschichten unter Auflast.
- Forschung an Metamaterialien: Analyse neuartiger auxetischer Strukturen mit negativer Querkontraktionszahl für Stoßdämpfer und Leichtbaukomponenten.
- Maschinenbau-Studium & Lehre: Schnelle Kontrolle von Übungsaufgaben in Technischer Mechanik und Werkstoffkunde.
Nutzen Sie den Querkontraktionszahl-Rechner für zuverlässige, transparente und normgerechte Berechnungen in der technischen Mechanik.