ベータ分布計算機の使い方
ベータ分布計算機では、形状パラメーター α と β、評価したい値 x を入力して、0から1までの値をとる確率変数の分布を調べられます。α と β はともに 0 より大きい値を入力してください。x、区間の下限 a、上限 b は 0 から 1 の範囲で入力します。結果では、まずベータ分布の平均を表示し、分散、標準偏差、最頻値、中央値の近似値、歪度、超過尖度も確認できます。
x を指定すると、その点での確率密度関数（PDF）と、(P(X \leq x)) にあたる累積分布関数（CDF）が表示されます。さらに a と b を指定すれば、(P(a \leq X \leq b)) の区間確率も計算できます。値を変更すると計算結果はブラウザー内で直ちに更新されるため、α と β による分布形状の変化を比較する用途にも便利です。
ベータ分布は連続分布です。そのため、PDF の値そのものは「ちょうど x になる確率」ではなく、x 付近の密度を表します。ある範囲に入る確率を知りたい場合は CDF または区間確率を確認してください。
公式と理論：ベータ分布
ベータ分布は、(0 \leq x \leq 1) の区間で定義される連続確率分布です。(\alpha > 0)、(\beta > 0) のとき、確率密度関数は次のように表されます。
f(x) = x^(α − 1)(1 − x)^(β − 1) / B(α, β)ここで (B(\alpha, \beta)) はベータ関数です。累積分布関数は、0 から x までの密度を積分した (F(x)=P(X \leq x)) です。したがって、a から b までの確率は (F(b)-F(a)) で求められます。
主要な要約統計量は次のとおりです。
平均 = α / (α + β)
分散 = αβ / ((α + β)^2(α + β + 1))
最頻値 = (α − 1) / (α + β − 2) （α > 1 かつ β > 1 の場合）α と β の比は分布の中心を、両者の大きさは分布の集中度を左右します。α=β=1 のときは 0 から 1 の一様分布になります。α と β がともに 1 より大きい場合は中央付近に山を持ち、片方がより大きい場合はその側へ分布が偏ります。
ベータ分布計算機の活用例
ベータ分布は、成功率、クリック率、変換率、投票率など、0から1に収まる割合や確率を表すのに適しています。特にベイズ統計では、二項データの成功確率に対する事前分布・事後分布としてよく使われます。たとえば、成功回数と失敗回数から得られる不確実性を含めて、未知の成功率を考える際に役立ちます。
この計算機は、統計の学習で PDF・CDF・区間確率の関係を確かめる場合、データ分析で割合の分布を概観する場合、ベイズ推定のパラメーター設定を比較する場合に利用できます。計算結果は前提と入力値に依存するため、実データの解釈では標本数、データの生成過程、モデルの仮定もあわせて確認してください。