中国の剰余定理 計算ツールの使い方
中国の剰余定理 計算ツールは、連立合同方程式（x ≡ aᵢ (mod mᵢ)）を簡単に解くためのオンラインツールです。各行に余り（剰余）と法を入力するだけで、最小非負整数解および一般解をステップバイステップで即座に算出します。
- 余りと法を入力する — 各行の余り $a_i$ と法 $m_i$ を入力します。「+ 合同式を追加」ボタンを押すことで、3つ以上の連立合同方程式にも対応可能です。
- 法が互いに素であるか確認 — 中国の剰余定理 計算ツールは、指定された法が互いに素（互いに素な関係）であるかを自動的に検証します。互いに素でない場合は警告が表示されます。
- 計算結果と過程を確認 — 最小非負整数解 $x$、一般解の形式 $x \equiv r \pmod{M}$、全体の法 $M$、ならびに $M_i$、$y_i$（モジュラ逆元）、$a_i M_i y_i$ の途中経過をまとめた詳細テーブルが表示されます。
合同式は必要な数だけ自由に追加・削除（✕ボタン）することができます。
計算公式と理論 - 中国の剰余定理
中国の剰余定理 計算ツールでは、数論における標準的なアルゴリズムに基づいて計算を行っています。
与式: x ≡ a₁ (mod m₁), x ≡ a₂ (mod m₂), ..., x ≡ aₙ (mod mₙ)
条件: m₁, m₂, ..., mₙ は互いに素
全体の法 M = m₁ × m₂ × ... × mₙ
各項の Mᵢ = M / mᵢ
逆元 yᵢ = Mᵢ の mod mᵢ におけるモジュラ逆元 (Mᵢ · yᵢ ≡ 1 mod mᵢ)
解 x = (Σ aᵢ · Mᵢ · yᵢ) mod M| 記号 | 意味 |
|---|---|
| M | すべての法の積（全体の法） |
| Mᵢ | 全体の法 M を i 番目の法 mᵢ で割った値 |
| yᵢ | mᵢ を法とする Mᵢ のモジュラ逆元 |
| x | 求める最小非負整数解 |
すべての法が互いに素である場合、中国の剰余定理（中国の余剰定理とも呼ばれる）によって modulo M の範囲で一意な解が存在することが保証されます。中国の剰余定理 計算ツールは拡張ユークリッドの互除法を使用して各逆元を正確に求めます。
前提条件と制限事項
- すべての法（$m_i$）は 2 以上の正の整数である必要があります。
- 余り（$a_i$）には任意の整数を入力できます。負の余りが入力された場合は自動的に正の剰余に正規化されます。
- 本ツールで実装している中国の剰余定理は、法が互いに素である場合に対応しています。
- JavaScript の安全な整数範囲（$2^{53} - 1$）を超える非常に大きな数値の場合、計算精度に影響が出る可能性があります。
中国の剰余定理 計算ツールの活用シーン
中国の剰余定理 計算ツールは、数学の学習からプログラミング、暗号理論まで幅広い場面で役立ちます。
- 離散数学・数論の課題・演習 — 大学や高校の数学・情報科学の授業で出題される連立合同方程式の解法確認や宿題の答え合わせに活用できます。
- 暗号理論（RSA暗号の高速化） — 中国の剰余定理（CRT）は、RSA復号・署名処理の高速化や Diffie-Hellman 鍵交換など、現代の公開鍵暗号基盤において不可欠な技術です。
- 競技プログラミング（AtCoderなど） — 余りに関する問題や連立合同方程式を扱う問題で、解の検証やアルゴリズムの動作確認に役立ちます。
- あまりの周期パズル — 「3で割ると2余り、5で割ると3余る数は？」といった古典的な数論パズルや周期計算を瞬時に解決できます。
計算過程のテーブルで $M_i$ や逆元 $y_i$ の値を確認できるため、単に答えを求めるだけでなく、中国の剰余定理の手順を深く理解するための学習ツールとしても最適です。