如何使用中国剩余定理计算器
中国剩余定理计算器用于求解联立同余方程组。每一行代表一个形如 x ≡ aᵢ（mod mᵢ）的方程。填写各行数据后，中国剩余定理计算器会立即计算出最小非负解和通解形式。
- 输入余数和模数 — 为每行输入余数 aᵢ 和模数 mᵢ。如需求解三个以上方程的方程组，点击「添加同余条件」按钮添加更多行。
- 检查两两互质性 — 中国剩余定理计算器会自动验证所有模数是否两两互质。若不满足条件，会显示错误提示说明原因。
- 读取解 — 结果面板显示最小非负解 x、通解形式 x ≡ r（mod M）、总模数 M，以及包含 Mᵢ、yᵢ 和 aᵢMᵢyᵢ 的逐步计算表格。
可以添加任意数量的同余条件，点击各行旁边的 ✕ 按钮可删除对应行。
公式与原理 — 中国剩余定理计算器
中国剩余定理计算器使用标准的中国剩余定理构造方法：
给定：x ≡ a₁（mod m₁），x ≡ a₂（mod m₂），...，x ≡ aₙ（mod mₙ）
要求：m₁，m₂，...，mₙ 两两互质
M = m₁ × m₂ × ... × mₙ
Mᵢ = M / mᵢ
yᵢ = Mᵢ 关于 mᵢ 的模逆元（Mᵢ · yᵢ ≡ 1 mod mᵢ）
x = (Σ aᵢ · Mᵢ · yᵢ) mod M| 符号 | 含义 |
|---|---|
| M | 所有模数之积 |
| Mᵢ | M 除以第 i 个模数 |
| yᵢ | Mᵢ 关于 mᵢ 的模逆元 |
| x | 最小非负解 |
当所有模数两两互质时，定理保证在模 M 意义下存在唯一解。中国剩余定理计算器使用扩展欧几里得算法计算每个模逆元，确保结果的正确性。
使用限制
- 所有模数必须为大于 1 的正整数。
- 余数可以是任意整数，负余数会自动规范化处理。
- 本计算器基于标准中国剩余定理，要求模数两两互质。对于非互质模数的广义中国剩余定理不在本工具的支持范围内。
- 极大的模数可能超出 JavaScript 的安全整数范围（2⁵³ − 1）。对于超大输入，建议使用专用大整数工具。
中国剩余定理计算器的使用场景
中国剩余定理计算器在学术和实际应用中均有广泛用途，常见场景包括：
- 数论作业 — 快速解答离散数学或抽象代数课程中布置的中国剩余定理题目。
- 密码学基础 — 中国剩余定理是 RSA 优化（CRT 形式的 RSA）、Diffie-Hellman 密钥交换等公钥算法的核心技术。
- 算法竞赛 — 竞赛编程中经常出现联立同余方程问题，中国剩余定理计算器可用于提交前验证答案。
- 时钟算术谜题 — 诸如「某数除以 3 余 2，除以 5 余 3……」的经典谜题可以即时求解。
逐步计算表格使中国剩余定理计算器不仅是求解工具，更是学习中国剩余定理算法的有效辅助手段。