プラントル・マイヤー膨張波 計算ツールの使い方
プラントル・マイヤー膨張波 計算ツールは、超音速流体が凸状のコーナーを流れる際の等エントロピー膨張（Prandtl-Meyer Expansion Fan）を解析するオンラインシミュレーターです。偏向角（曲がり角） $\theta$ から下流マッハ数 $M_2$ を求める計算と、目標マッハ数 $M_2$ から必要な偏向角 $\theta$ を求める計算の双方向に対応しています。
- 上流マッハ数 $M_1$ の入力 — 超音速（$M_1 > 1$）の値を入力します。膨張波を通過すると流体は加速し、マッハ数が増加します。
- 比熱比 $\gamma$（ガンマ）の設定 — 空気の場合は 1.4、単原子ガス（He, Ar など）は 1.67、二酸化炭素（CO₂）などは 1.3 を入力します。
- 計算モードを選択 — 「偏向角 $\theta$ から $M_2$ を計算」または「目標 $M_2$ から偏向角 $\theta$ を計算」を選びます。
- $\theta$ または $M_2$ の入力 — 流れが曲がる角度 $\theta$（°）または到達したいマッハ数 $M_2$ を入力します。
- 計算結果の確認 — プラントル・マイヤー関数値 $\nu(M_1)$、$\nu(M_2)$、下流マッハ数 $M_2$（または偏向角 $\theta$）、および理論上の最大膨張限界角度 $\nu_{\max} - \nu(M_1)$ を算出します。
- 等エントロピー変化比の確認 — 等エントロピー流れの関係式に基づき、圧力比 $p_2/p_1$、温度比 $T_2/T_1$、密度比 $\rho_2/\rho_1$ も表示されます。
プラントル・マイヤー膨張波の計算式と理論
プラントル・マイヤー膨張波の計算では、気体力学における閉じた形のプラントル・マイヤー関数 $\nu(M)$ を使用します。
ν(M) = √((γ+1)/(γ−1)) · arctan(√((γ−1)/(γ+1)·(M²−1))) − arctan(√(M²−1))
ν(M₂) = ν(M₁) + θ
ν_max = (π/2) · (√((γ+1)/(γ−1)) − 1) (真空限界, M → ∞)| 記号 | 意味 | 単位 / 備考 |
|---|---|---|
| ν(M) | プラントル・マイヤー関数（プラントル・マイヤー角） | ° または rad |
| M₁, M₂ | 上流側 / 下流側のマッハ数 | 無次元 |
| θ | 流れの偏向角（膨張角） | ° |
| γ | 比熱比 (Ratio of specific heats) | 無次元 |
| ν_max | マッハ数 M → ∞ における最大偏向角 | ° |
空気（$\gamma = 1.4$）の場合、真空限界での最大偏向角は $\nu_{\max} \approx 130.45^\circ$ となります。代表的なマッハ数に対するプラントル・マイヤー角は、$M = 2$ で $\nu \approx 26.4^\circ$、$M = 3$ で $\nu \approx 49.8^\circ$、$M = 5$ で $\nu \approx 95.6^\circ$ です。
膨張扇を構成する各マッハ波は無限小の変化であるため、全工程が**等エントロピー変化（可逆断熱変化）**となり、全温（総温）および全圧（総圧）が保存されます。
プラントル・マイヤー膨張波 計算の応用・活用例
- 超音速ノズルの出口設計 — 風洞実験装置やロケットノズルにおいて、所望の出口マッハ数を達成するための壁面膨張角の設計・計算。
- ダイヤモンド翼型・二重ウェッジ翼型の空力解析 — 衝撃波・膨張波法（前縁の斜め衝撃波と後縁のプラントル・マイヤー膨張扇の組み合わせ）を用いた波形抗力および表面圧力分布の推計。
- 超音速インテーク（空気取り入れ口）の最適化 — 多段ランプ（傾斜板）を持つ超音速インテークで発生する連続的な斜め衝撃波と膨張扇の相互作用解析。
- ガスダイナミックレーザーの流体設計 — 窒素や CO₂ を用いたガスダイナミックレーザー共振器内で反転分布を形成するための急激な等エントロピー膨張の評価。
- 流体力学・気体力学の演習・授業 — 空気力学や圧縮性流体力学の授業で、プラントル・マイヤー関数の数値計算結果やマッハ角チャートの計算検証。