如何使用普朗特–迈耶膨胀计算器
普朗特–迈耶膨胀计算器求解超声速流绕凸角膨胀的波角、下游马赫数和气流偏转角，用于可压缩气动设计。
- 输入来流马赫数 M₁ — 须大于 1；无上限，但 M > 5 时需考虑真实气体效应。
- 选择计算模式 — “给定偏转角 θ 求 M₂”：输入流向转角直接得到下游 Ma；“给定 M₂ 求 θ”：由目标马赫数反算所需几何转角。
- 选择气体 — 空气 γ = 1.4；高温解离气可手动输入等效 γ。
- 读取普朗特–迈耶函数 ν(M₁) — 并与 θ 叠加得 ν(M₂)。
- 查看等熵比 — 静压比 p₂/p₁ 和温比 T₂/T₁ 由等熵关系一并显示。
- 对比激波 — 膨胀过程等熵，无总压损失；可对照斜激波计算器理解联合激波-膨胀分析。
公式与原理
普朗特–迈耶膨胀计算器采用 Prandtl-Meyer 函数的精确解析式，该公式由特征线理论推导而来：
ν(M) = √((γ+1)/(γ−1)) · arctan( √((γ−1)/(γ+1) · (M²−1)) ) − arctan( √(M²−1) )
ν(M₂) = ν(M₁) + θ
p₂/p₁ = ((1 + (γ−1)/2·M₁²) / (1 + (γ−1)/2·M₂²))^(γ/(γ−1))| 符号 | 含义 | SI 单位 |
|---|---|---|
| M₁, M₂ | 膨胀前后马赫数 | — |
| ν(M) | 普朗特–迈耶函数 | ° |
| θ | 流向偏转角 | ° |
| γ | 比热比 | — |
| p₂/p₁ | 静压比（等熵，< 1） | — |
| T₂/T₁ | 静温比（等熵，< 1） | — |
M₁ = 1 时 ν = 0°；M → ∞ 时 ν → ν_max = (π/2)·(√((γ+1)/(γ−1))−1)，对空气约 130.45°。膨胀为等熵过程，总压不变；对比正激波，膨胀后 Ma 增大而压力下降。
应用场景
- 超音速喷管出口设计 — 计算膨胀扇角，确定喷管扩张段型线，使气流在设计点达到目标 Ma。
- 菱形翼气动压力分布 — 结合斜激波和普朗特–迈耶膨胀分析菱形翼面上的压力分布，计算升阻比。
- 进气道下游膨胀 — 在多级斜激波进气道出口面设计膨胀转角，减小气流偏转损失。
- 翼型激波–膨胀理论 — 用薄翼近似快速估算超声速翼型的压力分布，验证精确 CFD 解。
- 可压缩流课程教学 — 通过可视化 ν-M 曲线，直观理解马赫数增加与膨胀角的单调关系。
- 火箭发动机喷管分析 — 估算膨胀不足或过度膨胀工况下出口流偏转角，评估推力矢量损失。