二次回帰計算ツールの使い方
二次回帰計算機を使用すると、わずか数ステップでデータに最適な二次関数近似曲線（放物線）を算出できます。
- データを入力する — (x, y) のペアを1行に1組ずつ、カンマまたはスペース区切りで入力フィールドに貼り付けまたは入力します。サンプルデータを試したい場合は 「サンプルデータの読み込み」 をクリックしてください。
- 計算を実行する — データを入力すると、最小二乗法に基づいて最良適合する二次回帰式 $y = ax^2 + bx + c$ が即座に計算されます。
- 係数・R²を確認する — 算出された係数 $a, b, c$ と、モデルの適合度を示す決定係数 $R^2$ の値を確認します。
- 放物線の頂点を求める — 計算ツールが自動的に放物線の頂点座標（最大値または最小値となる点）を算出して表示します。
- y の値を予測する — 予測フィールドに任意の $x$ の値を入力すると、回帰式に基づいた $y$ の予測値が直ちに表示されます。
- 残差テーブルを確認する — 各データ点について、実測値 $y$、予測値 $\hat{y}$、および残差 ($y - \hat{y}$) が一覧表示され、近似精度を詳細に検証できます。
新しいデータセットでやり直す場合は 「クリア」 ボタンを押してください。
計算公式と理論 — 二次回帰分析（最小二乗法）
本二次回帰計算機では、以下の2次多項式モデルをデータに当てはめます。
y = ax² + bx + c係数 $a, b, c$ は、各データ点と回帰曲線との間の残差平方和（RSS: Residual Sum of Squares）を最小化する最小二乗法によって求められます。
RSS = Σᵢ (yᵢ − aXᵢ² − bXᵢ − c)²各未知数に関する偏微分をゼロとおくことで、以下の 3×3 の正規方程式（連立方程式）が導出されます。
[ n Σx Σx² ] [c] [Σy ]
[ Σx Σx² Σx³ ] [b] = [Σxy ]
[ Σx² Σx³ Σx⁴ ] [a] [Σx²y]本ツールでは、信頼性と計算速度に優れたクラメルの公式（Cramer’s rule）を用いてこの連立方程式を解き、高精度な係数を算出しています。
| 記号 / 項目 | 意味・役割 |
|---|---|
| a | $x^2$ の係数（放物線の開き具合と向きを制御） |
| b | $x$ の係数（放物線の左右へのシフトを制御） |
| c | 定数項（y切片） |
| R² | 決定係数（モデルがデータの変動を説明する割合） |
| 頂点 | 点 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$ — 放物線の極大値または極小値 |
頂点と軸の計算
放物線の頂点の $x$ 座標は以下の公式で求められます。
x_vertex = -b / (2a)$a > 0$ の場合、放物線は下に凸となり頂点は最小値を示します。$a < 0$ の場合、放物線は上に凸となり頂点は最大値を示します。本ツールは頂点の $x$ 座標および $y$ 座標の両方を自動算出します。
二次回帰計算ツールの主な活用シーン
二次回帰計算機は、2つの変数間に放物線的（非線形）な関係が予想される以下のような場面で非常に役立ちます。
- 物理実験・科学研究 — 投射運動（放物線運動）や自由落下、光学実験など、二次関数に従う物理現象の測定データから正確な係数を抽出できます。
- 経済学・費用分析 — U字型の費用曲線（限界費用・平均費用）や利益最大化問題など、極値を持つ経済モデルの分析に最適です。
- 生物学・医学データ — 薬物の投与量反応曲線や成長曲線など、最適なピーク（極値）が存在するデータの解析に適しています。
- 工学設計・シミュレーション — 空力抵抗、パラボラアンテナの形状設計、梁のたわみ計算など、$y = ax^2 + bx + c$ の関係を持つ工学データのモデリングに活用できます。
- 統計学の教育・学習 — 最小二乗法による曲線当てはめや決定係数 $R^2$ の意味を視覚的に理解するための教材としても利用できます。
直線的な一次線形回帰ではデータに適合せず、曲線的な変化や極値をモデル化したい場合、この二次回帰計算ツールは最もスピーディで手軽に適用できるソリューションです。