レイリー分布計算ツールの使い方
レイリー分布計算ツールは、統計学や信号処理、信頼性工学などで頻繁に使用されるレイリー分布（Rayleigh distribution）の各種確率や統計量を簡単に算出できるWebツールです。
- 計算モードの選択: 目的の確率（累積分布関数 P(X ≤ x) や右側確率 P(X ≥ x) など）や統計量の計算モードを選択します。
- パラメータの入力: 尺度パラメータ $\sigma$（スケールパラメータ）および値 $x$ を入力します。
- 結果の確認: 確率密度関数(PDF)や累積分布関数(CDF)の値、期待値（平均値）、分散などの各統計量と途中計算手順が自動的に画面上に表示されます。
レイリー分布の公式と理論（計算方法）
レイリー分布は、互いに独立で平均 0・分散 $\sigma^2$ の 2 つの正規分布に従う確率変数のベクトルの大きさ（ノルム）が従う連続確率分布です。
1. 確率密度関数 (PDF)
尺度パラメータ $\sigma > 0$ におけるレイリー分布の確率密度関数 $f(x)$ は以下のように定義されます（$x \ge 0$）。
$$f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$
2. 累積分布関数 (CDF)
累積分布関数 $F(x) = P(X \le x)$ は次の式で表されます（$x \ge 0$）。
$$F(x; \sigma) = 1 - e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$
また、右側確率（生存関数・上側確率） $P(X \ge x)$ は $1 - F(x) = e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ となります。
3. 主要な統計量
- 期待値（平均値）: $E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533 \sigma$
- 分散: $V[X] = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2 \approx 0.4292 \sigma^2$
- 最頻値（モード）: $x = \sigma$ （確率密度関数が最大値をとる点）
- 中央値: $M = \sigma \sqrt{2 \ln 2} \approx 1.1774 \sigma$
レイリー分布計算ツールの活用シーン
本計算ツールは、以下のような幅広い分野での計算・検証作業に役立ちます。
- 統計学・確率論の学習: 大学の統計学の講義、レポート課題、確率分布の性質確認。
- 通信工学・信号処理: 無線通信におけるフェージング（レイリーフェージング）の解析や振幅変動のモデル化。
- 信頼性工学・品質管理: 製品の寿命解析や風速データ・波高データの分布モデル検証。
- データ分析・実務検証: Excel や Python などのシミュレーション結果のクイックチェック。