如何使用 玻尔模型计算器
玻尔模型计算器 接收原子序数 Z 与主量子数 n，输出轨道半径、电子速度、总能量，以及所选跃迁对应的频率与波长。
- 输入 Z — 仅适用于类氢（单电子）原子或离子。输入 1 表示氢，2 表示 He⁺，3 表示 Li²⁺，以此类推。
- 输入 n — 主量子数 n = 1, 2, 3, … 决定轨道。n = 1 为基态；n 越大，轨道越大、能量越高（束缚越弱）。
- 设置跃迁（可选） — 选择 n₁ → n₂ 即可显示发射或吸收光子的频率与波长。玻尔模型计算器会自动标注所属谱线系（莱曼、巴尔末、帕邢等）。
- 读取完整结果面板 — 各结果卡片分别展示轨道半径、电子速度、束缚能、光子频率与真空波长，方便单独复制或在不同 n 下对比。
公式与原理 — 玻尔模型计算器
玻尔模型计算器 基于玻尔对角动量的量子化条件：
r_n = (a₀ / Z) · n² （轨道半径）
v_n = (Z · α · c) / n （电子速度）
E_n = − (Z² · 13.6 eV) / n² （总能量）
ΔE = E_n₁ − E_n₂ （光子能量）
f = ΔE / h （光子频率）
λ = c / f （真空波长）| 符号 | 含义 |
|---|---|
| a₀ | 玻尔半径（5.29 × 10⁻¹¹ m） |
| α | 精细结构常数（约 1/137） |
| Z | 核电荷数 |
| n | 主量子数 |
| h | 普朗克常数 |
| c | 光速 |
氢原子谱线系一览
| 谱线系 | 低能级（n₁） | 谱区 |
|---|---|---|
| 莱曼系 | 1 | 紫外 |
| 巴尔末系 | 2 | 可见 / 近紫外 |
| 帕邢系 | 3 | 近红外 |
| 布拉开系 | 4 | 红外 |
| 普丰德系 | 5 | 红外 |
例如巴尔末-α（Hα）对应 n = 3 → 2，波长 656 nm，即氢气放电管中肉眼可见的鲜红谱线。
假设与限制
玻尔模型假设圆形轨道、即时库仑作用、原子核质量无限。提高精度时可引入约化质量；处理多电子原子请改用量子化学方法。
使用场景 — 玻尔模型计算器
玻尔模型计算器 适合需要快速、透明计算的入门级原子物理场景，包括：
- 类氢光谱预测 — 精确估算 H、He⁺、Li²⁺ 等单电子体系的谱线位置，与 NIST 数据对比验证。
- 等离子体诊断 — 估算实验室或天体物理等离子体中高电离离子的跃迁能量，作为发射谱线归属的第一步。
- 物理作业核对 — 使用与教材一致的玻尔公式验算习题答案，并确认能量单位（eV 与 J）换算无误。
- 概念演示 — 展示轨道半径随 n² 增大、随 Z 缩小的规律，使原子尺度与核电荷效应直观可见。
- 里德伯态研究 — 探究 n > 50 的极高激发态，体验量子力学与经典力学的对应原理极限。
- 量子化学前校验 — 在运行精确量子化学程序前，用玻尔模型做量级核对与合理性检查。
高精度光谱或多电子原子请改用量子力学方法或 NIST 等光谱数据库。玻尔模型计算器提供了每一门入门原子物理课都需要的基础一阶图像。