So nutzen Sie den Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner
Der Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner berechnet den stationären Volumenstrom eines newtonschen Fluids durch ein zylindrisches Rohr bei vorgegebener Druckdifferenz. Gehen Sie bei der Dateneingabe wie folgt vor:
- Rohrradius r eingeben — Tragen Sie den lichten Innenradius des Rohres in Metern ein (nicht den Außendurchmesser). Da der Radius mit $r^4$ in die Gleichung eingeht, wirken sich kleinste Messungenauigkeiten beim Radius massiv auf das Resultat aus.
- Druckverlust ΔP festlegen — Geben Sie die Druckdifferenz zwischen Rohranfang und Rohrende in Pascal ($\text{Pa}$) ein.
- Dynamische Viskosität η erfassen — Tragen Sie die dynamische Viskosität des Fluids in $\text{Pa}\cdot\text{s}$ ein (z. B. Wasser bei $20,^\circ\text{C} \approx 1{,}002 \times 10^{-3},\text{Pa}\cdot\text{s}$, Glycerin $\approx 1{,}48,\text{Pa}\cdot\text{s}$).
- Rohrlänge L angeben — Tragen Sie die wirksame Rohrlänge in Metern ein, über welche der Druckabfall stattfindet.
- Ergebnis ablesen — Der Rechner liefert den Volumenstrom $Q$ sofort in $\text{m}^3/\text{s}$ sowie umgerechnet in praxisnahe Einheiten wie $\text{L/min}$ oder $\text{mL/s}$.
Formel & physikalische Grundlagen — Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille ist die exakte analytische Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für eine stationäre, voll ausgebildete laminare Strömung durch ein gerades Kreisrohr. Im Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner werden folgende physikalische Formeln implementiert:
Q = (π · r⁴ · ΔP) / (8 · η · L)
v_max = (r² · ΔP) / (4 · η · L) (Geschwindigkeit in Rohrmitte)
v_avg = v_max / 2 = Q / (π · r²) (Mittlere Strömungsgeschwindigkeit)
Re = (ρ · v_avg · 2r) / η (Prüfung auf laminare Strömung)| Formelzeichen | Physikalische Bedeutung | SI-Einheit |
|---|---|---|
| Q | Volumenstrom (Durchfluss) | $\text{m}^3/\text{s}$ |
| r | Rohrinnenradius | $\text{m}$ |
| ΔP | Druckverlust / Druckdifferenz ($p_1 - p_2$) | $\text{Pa}$ |
| η (μ) | Dynamische Viskosität des Fluids | $\text{Pa}\cdot\text{s}$ ($\text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2$) |
| L | Länge der Rohrleitung | $\text{m}$ |
| $v_{\text{max}}$ | Maximale Fließgeschwindigkeit auf der Rohrachse | $\text{m/s}$ |
| $v_{\text{avg}}$ | Durchschnittliche Strömungsgeschwindigkeit | $\text{m/s}$ |
Das parabolische Geschwindigkeitsprofil zeichnet sich dadurch aus, dass die Fließgeschwindigkeit direkt an der Rohrinnenwand durch die Haftbedingung null ist und zur Rohrmitte hin parabolisch auf den Maximalwert $v_{\text{max}} = 2 \cdot v_{\text{avg}}$ ansteigt.
Hydraulischer Strömungswiderstand und das $r^4$-Gesetz
Der hydraulische Strömungswiderstand $R_{\text{hydr}}$ eines zylindrischen Rohres verhält sich analog zum ohmschen Widerstand in der Elektrotechnik:
$$\Delta P = R_{\text{hydr}} \cdot Q \quad \text{mit} \quad R_{\text{hydr}} = \frac{8 \cdot \eta \cdot L}{\pi \cdot r^4}$$
Durch die Abhängigkeit von $r^4$ sinkt der Strömungswiderstand drastisch, sobald der Radius vergrößert wird. Unser Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner verdeutlicht dieses Gesetz: Wird ein Leitungsradius um $20,%$ vergrößert ($1{,}2^4 \approx 2{,}07$), verdoppelt sich der Durchfluss bei gleichem Druckverlust nahezu. Umgekehrt führen leichte Querschnittsverengungen zu enormen Druckverlusten.
Praxisbeispiel: Viskose Strömung im Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner
Ein Hydrauliköl ($\eta = 0{,}045,\text{Pa}\cdot\text{s}$) fließt durch ein Präzisionsrohr mit einem Innenradius von $r = 2{,}5,\text{mm} = 0{,}0025,\text{m}$ und einer Länge von $L = 1{,}8,\text{m}$. Der anliegende Druckverlust beträgt $\Delta P = 25,000,\text{Pa}$ ($0{,}25,\text{bar}$).
So berechnet der Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner den Volumenstrom Schritt für Schritt:
- Radius in der vierten Potenz berechnen:
$$r^4 = (0{,}0025,\text{m})^4 = 3{,}90625 \times 10^{-11},\text{m}^4$$ - Zähler der Formel bilden:
$$\pi \cdot r^4 \cdot \Delta P = \pi \cdot 3{,}90625 \times 10^{-11} \cdot 25,000 \approx 3{,}06796 \times 10^{-6},\text{N}\cdot\text{m}^2$$ - Nenner der Formel bestimmen:
$$8 \cdot \eta \cdot L = 8 \cdot 0{,}045,\text{Pa}\cdot\text{s} \cdot 1{,}8,\text{m} = 0{,}648,\text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}$$ - Volumenstrom berechnen:
$$Q = \frac{3{,}06796 \times 10^{-6}}{0{,}648} \approx 4{,}7345 \times 10^{-6},\text{m}^3/\text{s} \approx 4{,}735,\text{mL/s} \approx 0{,}284,\text{L/min}$$
Das Tool liefert diesen exakten Durchflusswert unmittelbar nach der Eingabe.
Typische Anwendungsbereiche für den Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner
Die hydrodynamische Berechnung kommt in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen und Industriezweigen zum Einsatz:
- Mikrofluidik und Lab-on-a-Chip — Dimensionierung mikroskopischer Flusskanäle, Dosiernadeln und Mikropumpen in Diagnostikgeräten.
- Kapillarviskosimetrie — Bestimmung der dynamischen Viskosität unbekannter Flüssigkeiten anhand der Durchflusszeit in geeichten Glaskapillaren.
- Medizinische Physiologie & Gefäßforschung — Untersuchung hämodynamischer Strömungswiderstände im arteriellen und venösen Gefäßsystem.
- Schmierstoff- & Hydrauliktechnik — Berechnung von Schmiermittelströmen durch Versorgungsbohrungen in Gleitlagern und Drosselventilen.
- Verfahrens- & Chemieingenieurwesen — Auslegung von Dosierleitungen für zähflüssige Polymere, Harze und chemische Edukte.
- Physik- & Ingenieurausbildung — Veranschaulichung der laminaren Rohrströmung und des Einflusses der Randbedingungen auf das Geschwindigkeitsprofil.
Gültigkeitsgrenzen und Voraussetzungen
Für zuverlässige Ergebnisse im Hagen-Poiseuille-Gesetz-Rechner müssen die physikalischen Randbedingungen der laminaren Strömungsmechanik beachtet werden:
- Laminare Strömung: Die Reynolds-Zahl muss unterhalb der kritischen Grenze liegen ($\text{Re} \le 2300$). Bei turbulenter Strömung steigt der Druckverlust weitaus stärker an als nach Hagen-Poiseuille prognostiziert.
- Newtonsches Fluidverhalten: Die Viskosität des Mediums muss scherratenunabhängig konstant sein.
- Inkompressibilität: Gase lassen sich nur dann näherungsweise berechnen, wenn der relative Druckabfall $\Delta P / P_1$ sehr klein bleibt.
- Einlauflänge: Das laminare Parabelprofil benötigt eine Einlaufstrecke von $L_{\text{ein}} \approx 0{,}06 \cdot \text{Re} \cdot 2r$, um sich vollständig auszubilden.