Widerstandsrauschen-Rechner

Der Widerstandsrauschen-Rechner berechnet das thermische Johnson-Nyquist-Rauschen eines ohmschen Widerstands schnell und zuverlässig. Das Tool ermittelt sowohl die spektrale Rauschspannungsdichte in $\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$ als auch die gesamte effektive Rauschspannung ($V_{\text{rms}}$) über eine vorgegebene Bandbreite.

So nutzen Sie den Widerstandsrauschen-Rechner

Die Bedienung im Widerstandsrauschen-Rechner ist intuitiv aufgebaut:

1. Widerstandswert $R$ eingeben — Tragen Sie den ohmschen Widerstandswert in Ohm ($\Omega$), Kiloohm ($\text{k}\Omega$) oder Megaohm ($\text{M}\Omega$) in den Widerstandsrauschen-Rechner ein.
2. Absolute Temperatur $T$ festlegen — Geben Sie die Temperatur in Kelvin ($\text{K}$) an (Standardwert bei Raumtemperatur: $290,\text{K} \approx 17,^\circ\text{C}$ bzw. $293{,}15,\text{K} \approx 20,^\circ\text{C}$, flüssiger Stickstoff: $77,\text{K}$).
3. Rauschbandbreite $B$ wählen — Definieren Sie die effektive Bandbreite Ihres Mess- oder Filtersystems in $\text{Hz}$, $\text{kHz}$ oder $\text{MHz}$.
4. Ergebnisse ablesen — Der Widerstandsrauschen-Rechner liefert unmittelbar den RMS-Wert der Rauschspannung sowie die frequenzbezogene Rauschspannungsdichte.

Formeln & physikalische Grundlagen im Widerstandsrauschen-Rechner

Das thermische Rauschen in passiven Widerständen wurde 1928 von John B. Johnson entdeckt und von Harry Nyquist theoretisch begründet. Der Widerstandsrauschen-Rechner nutzt die folgenden Grundgleichungen der statistischen Physik:

1. Effektive Rauschspannung (RMS-Rauschspannung)

Die über die Bandbreite $B$ integrierte Effektivspannung $V_{\text{rms}}$ beträgt:

$$V_{\text{rms}} = \sqrt{4 \cdot k_B \cdot T \cdot R \cdot B}$$

Hierbei bedeuten:

• $k_B$: Boltzmann-Konstante ($k_B \approx 1{,}380649 \times 10^{-23},\text{J/K}$)
• $T$: Absolute Temperatur in Kelvin ($\text{K}$)
• $R$: Ohmscher Widerstand in Ohm ($\Omega$)
• $B$: Rauschbandbreite in Hertz ($\text{Hz}$)

2. Spektrale Rauschspannungsdichte

Da das thermische Rauschen spektral gleichmäßig verteilt ist (weißes Rauschen), wird in Datenblättern von Operationsverstärkern und Vorverstärkern häufig die frequenznormierte Rauschspannungsdichte $e_n$ angegeben. Der Widerstandsrauschen-Rechner berechnet diese nach:

$$e_n = \frac{V_{\text{rms}}}{\sqrt{B}} = \sqrt{4 \cdot k_B \cdot T \cdot R} \quad \left[\frac{\text{V}}{\sqrt{\text{Hz}}}\right]$$

Typischerweise wird das Ergebnis in Nanovolt pro Wurzel-Hertz ($\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$) ausgedrückt. Ein $1,\text{k}\Omega$-Widerstand erzeugt bei Raumtemperatur ($290,\text{K}$) beispielsweise eine spektrale Rauschdichte von rund $4{,}0,\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$.

Vrms = sqrt(4 · k · T · R · B)
Vn / sqrt(Hz) = sqrt(4 · k · T · R)
k = 1.380649e-23 J/K

3. Maximale thermische Rauschleistung

Die maximale Rauschleistung, die ein rauschbehafteter Widerstand an einen angepassten rauschfreien Lastwiderstand abgeben kann, ist unabhängig vom Widerstandswert:

$$P_n = k_B \cdot T \cdot B$$

Bei Raumtemperatur ($290,\text{K}$) entspricht dies einer thermischen Rauschleistungsdichte von etwa $-174,\text{dBm}/\text{Hz}$, was in der Hochfrequenztechnik und Funkempfängerentwicklung eine fundamentale physikalische Untergrenze darstellt.

Berechnungsbeispiele mit dem Widerstandsrauschen-Rechner

Beispiel 1: Niederohmiger Vorverstärker im Audiobereich

• Gegeben: $R = 10,\text{k}\Omega$, $T = 290,\text{K}$, $B = 20,\text{kHz}$ (Standard-Audiobandbreite)
• Spektrale Dichte im Widerstandsrauschen-Rechner: $$e_n = \sqrt{4 \cdot 1{,}380649 \times 10^{-23} \cdot 290 \cdot 10,000} \approx 12{,}65,\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$$
• Gesamte Rauschspannung ($V_{\text{rms}}$): $$V_{\text{rms}} = 12{,}65,\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} \cdot \sqrt{20,000,\text{Hz}} \approx 1{,}79,\mu\text{V}_{\text{rms}}$$

Beispiel 2: Hochfrequenz-Abschlusswiderstand ($50,\Omega$)

• Gegeben: $R = 50,\Omega$, $T = 290,\text{K}$, $B = 10,\text{MHz}$
• Spektrale Dichte im Widerstandsrauschen-Rechner: $$e_n \approx 0{,}895,\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$$
• Gesamte Rauschspannung ($V_{\text{rms}}$): $$V_{\text{rms}} = 0{,}895,\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} \cdot \sqrt{10^7,\text{Hz}} \approx 2{,}83,\mu\text{V}_{\text{rms}}$$

Typische Anwendungsbereiche für den Widerstandsrauschen-Rechner

Der Widerstandsrauschen-Rechner hilft Ingenieuren und Entwicklern in zahlreichen Disziplinen:

• Operationsverstärker & Audio-Design: Optimale Dimensionierung von Gegenkopplungswiderständen, um das Grundrauschen unter der angestrebten Rauschgrenze zu halten.
• Sensor-Signalverarbeitung: Bestimmung des thermodynamischen Rauschbudgets für DMS-Messbrücken, piezoelektrische Sensoren und Fotodioden-Verstärker.
• HF- und Empfängertechnik: Berechnung der Rauschzahl (Noise Figure) und der theoretischen Empfindlichkeitsgrenzen von Eingangsstufen.
• Labor & Lehre: Anschauliche Demonstration der Zusammenhänge zwischen Temperatur, Impedanz und Bandbreite für Studierende und Elektronik-Praktiker.

Mit dem Widerstandsrauschen-Rechner analysieren Sie das thermische Rauschen präzise und vermeiden Überraschungen beim Schaltungsentwurf.