So nutzen Sie den Wahre-Dehnung-Rechner
Der Wahre-Dehnung-Rechner ermöglicht Ihnen die schnelle und fehlerfreie Ermittlung der wahren Dehnung (auch logarithmische Dehnung oder Hencky-Dehnung) für werkstofftechnische Analysen und Umformberechnungen:
- Berechnungsmodus wählen — Wählen Sie im Tool zwischen dem Modus Ausgangs- & Endlänge oder Technische Dehnung.
- Längeneinheit festlegen — Bei Eingabe von Längenmaßen wählen Sie die passende Einheit (Millimeter, Zentimeter, Meter oder Zoll). Die Software rechnet alle Werte automatisch um.
- Ausgangswerte eingeben — Geben Sie die Ausgangslänge $L_0$ und Endlänge $L$ oder den Nennwert der technischen Dehnung $e$ ein.
- Ergebnisse ablesen — Das Rechenprogramm ermittelt unmittelbar die wahre Dehnung $\varepsilon_w$, das Längenverhältnis $L/L_0$, die absolute Längenänderung $\Delta L$ und die technische Dehnung mitsamt detaillierten Rechenschritten.
Formeln & physikalische Grundlagen — Wahre-Dehnung-Rechner
In der Festkörpermechanik und Werkstoffprüfung beschreibt der Wahre-Dehnung-Rechner die Formänderung eines Körpers bezogen auf dessen jeweilige Momentanlänge. Während die technische Dehnung $e = \Delta L / L_0$ die Dehnrate linear auf den Ausgangszustand normiert, integriert die logarithmische Dehnung alle infinitesimalen Längenänderungen $\mathrm{d}L$ entlang des Verformungspfades:
$$\varepsilon_w = \int_{L_0}^{L} \frac{\mathrm{d}L}{L} = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right)$$
Setzt man das Streckverhältnis $\lambda = \frac{L}{L_0} = 1 + e$ in diese Gleichung ein, ergibt sich der direkte mathematische Zusammenhang:
$$\varepsilon_w = \ln(1 + e)$$
ε_w = ln(L / L₀); ε_w = ln(1 + e)| Formelzeichen | Bezeichnung | Bedeutung & Einheit |
|---|---|---|
| $\varepsilon_w$ (oder $\varphi$) | Wahre Dehnung | Logarithmische Dehnung / Umformgrad (dimensionslos) |
| $L_0$ | Ausgangslänge | Ursprüngliche Bezugslänge des Werkstücks ($\text{mm}$, $\text{m}$) |
| $L$ | Endlänge | Momentane oder finale Probenlänge ($\text{mm}$, $\text{m}$) |
| $\Delta L$ | Längenänderung | Absolute Längendifferenz $L - L_0$ ($\text{mm}$, $\text{m}$) |
| $e$ (oder $\varepsilon$) | Technische Dehnung | Cauchy-Nenndehnung $\Delta L / L_0$ (dimensionslos) |
Technische Dehnung vs. Wahre Dehnung im Direktvergleich
Bei elastischen Verformungen mit geringen Dehnungen (typischerweise unter $0{,}2,%$) stimmen technische und wahre Dehnung nahezu exakt überein. Bei plastischen Verformungen, Kaltverfestigungen oder Tiefziehprozessen bietet der Wahre-Dehnung-Rechner entscheidende physikalische Vorteile:
| Kriterium | Technische Dehnung ($e$) | Wahre Dehnung ($\varepsilon_w$) |
|---|---|---|
| Bezugslänge | Feste Anfangslänge $L_0$ | Veränderliche Momentanlänge $L$ |
| Additivität | Nicht additiv bei Folgestufen | Exakt additiv: $\varepsilon_{\text{ges}} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$ |
| Symmetrie (Zug/Druck) | Asymmetrisch bei gleicher Geometrieänderung | Symmetrisch mit identischem Betrag |
| Hauptanwendungsbereich | Elastizitätslehre, Bauteilnormung | Plastomechanik, Umformtechnik, FEM-Fließkurven |
Beispielrechnung im Wahre-Dehnung-Rechner
Ein Rundzugstab aus Vergütungsstahl mit einer Ausgangslänge von $L_0 = 100,\text{mm}$ wird im quasistatischen Zugversuch auf eine Länge von $L = 135,\text{mm}$ gestreckt. So führt der Wahre-Dehnung-Rechner die Analyse aus:
- Streckverhältnis ermitteln:
$$\frac{L}{L_0} = \frac{135,\text{mm}}{100,\text{mm}} = 1{,}35$$ - Technische Dehnung berechnen:
$$e = 1{,}35 - 1 = 0{,}35 \quad (35{,}00,%)$$ - Wahre Dehnung berechnen:
$$\varepsilon_w = \ln(1{,}35) \approx 0{,}3001$$
Der Vergleich belegt anschaulich: Die wahre Dehnung beträgt $\varepsilon_w \approx 0{,}3001$ und fällt damit messbar geringer aus als die nominale technische Dehnung von $0{,}35$. Bei Stauchung (Kompression) gilt der umgekehrte Fall, da die momentane Bezugslänge während des Stauchens kontinuierlich abnimmt.
Typische Anwendungsbereiche für den Wahre-Dehnung-Rechner
In Wissenschaft, Werkstoffprüfung und industrieller Fertigung ist der Wahre-Dehnung-Rechner vielseitig im Einsatz:
- Zugversuch & Fließkurvenerstellung — Exakte Aufbereitung von Kraft-Weg-Diagrammen zur Ermittlung wahrer Spannungs-Dehnungs-Kurven (Fließkurven nach Ludwik, Swift oder Voce).
- Umformtechnik & Massivumformung — Bestimmung des logarithmischen Umformgrades $\varphi$ beim Schmieden, Strangpressen, Walzen und Drahtziehen.
- Blechumformung & Tiefziehen — Vorhersage von Grenzformänderungsdiagrammen (FLD) zur Vermeidung von Rissbildung und Einschnürungen.
- Nichtlineare FEM-Simulation — Kalibrierung numerischer Materialmodelle in Solvern wie Abaqus, LS-DYNA oder ANSYS, welche logarithmische Dehnungsraten zur Formulierung elastoplastischer Stoffgesetze verwenden.
- Polymer- und Elastomercharakterisierung — Präzise Quantifizierung extremer Dehnungen bei gummielastischen Werkstoffen und Biopolymeren.