Das Stokessche Gesetz (auch Stokes’sches Reibungsgesetz) bildet das theoretische Fundament der Hydrodynamik für die Bewegung kleiner, kugelförmiger Körper in zähen Flüssigkeiten und Gasen. Mit dem Stokessches-Gesetz-Rechner können Sie sowohl die viskose Reibungskraft bei gegebener Strömungsgeschwindigkeit als auch die stationäre Sinkgeschwindigkeit (Sedimentationsgeschwindigkeit) im Kräftegleichgewicht präzise ermitteln.
Bedienung: So nutzen Sie den Stokessches-Gesetz-Rechner
Die Berechnung im Stokessches-Gesetz-Rechner erfolgt in wenigen Schritten:
- Berechnungsmodus wählen: Entscheiden Sie sich zwischen Reibungskraft Fd (wenn die Relativgeschwindigkeit bekannt ist) und Sinkgeschwindigkeit vt (für die Gleichgewichts-Sedimentationsgeschwindigkeit).
- Dynamische Viskosität μ eingeben: Geben Sie die Viskosität des Trägermediums in Pa·s ein (z. B. Wasser bei 20 °C: ca. $1{,}002 \times 10^{-3},\text{Pa}\cdot\text{s}$, Luft bei 20 °C: ca. $1{,}81 \times 10^{-5},\text{Pa}\cdot\text{s}$, Glyzerin: ca. $1{,}48,\text{Pa}\cdot\text{s}$).
- Kugelradius r festlegen: Tragen Sie den Radius des kugelförmigen Partikels in Metern (oder Subskalen) ein.
- Zusatzparameter eintragen: Im Modus Reibungskraft tragen Sie die Strömungsgeschwindigkeit $v$ ein; im Modus Sinkgeschwindigkeit die Partikeldichte $\rho_p$, die Fluiddichte $\rho_f$ und die Erdbeschleunigung $g$ (Standard: $9{,}81,\text{m/s}^2$).
- Ergebnisse und Strömungsregime ablesen: Der Stokessches-Gesetz-Rechner liefert Ihnen sofort die Reibungskraft bzw. Sinkgeschwindigkeit und berechnet automatisch die Partikel-Reynolds-Zahl ($Re_p$), um die Gültigkeit des Stokes-Regimes zu verifizieren.
Physikalische Grundlagen & Formeln im Stokessches-Gesetz-Rechner
Der Stokessches-Gesetz-Rechner basiert auf den exakten analytischen Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen für schleichende, laminare Kugelumströmungen ($Re_p \ll 1$):
F_d = 6 · π · μ · r · v (Stokessche Reibungskraft)
v_t = 2 · r² · (ρ_p − ρ_f) · g / (9 · μ) (Stationäre Sinkgeschwindigkeit)
Re_p = 2 · r · v · ρ_f / μ (Partikel-Reynolds-Zahl)| Symbol | Physikalische Größe | SI-Einheit |
|---|---|---|
| $F_d$ | Stokessche Reibungskraft | N (Newton) |
| $v_t$ | Stationäre Sinkgeschwindigkeit | m/s |
| $\mu$ | Dynamische Viskosität des Fluids | $\text{Pa}\cdot\text{s};(\text{N}\cdot\text{s/m}^2)$ |
| $r$ | Radius des kugelförmigen Partikels | m |
| $\rho_p$ | Dichte des Partikels | $\text{kg/m}^3$ |
| $\rho_f$ | Dichte des Fluids | $\text{kg/m}^3$ |
| $g$ | Erdbeschleunigung ($9{,}81$) | $\text{m/s}^2$ |
| $Re_p$ | Partikel-Reynolds-Zahl | dimensionslos |
Kräftegleichgewicht bei der Sedimentation
Sinkt ein Körper unter dem Einfluss der Schwerkraft in einem ruhenden Fluid ab, wirken drei Kräfte:
- Gewichtskraft: $F_G = m \cdot g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_p g$
- Statischer Auftrieb (Archimedes): $F_A = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_f g$
- Stokessche Reibungskraft: $F_d = 6 \pi \mu r v$
Nach einer kurzen Beschleunigungsphase heben sich diese Kräfte auf ($F_G = F_A + F_d$). Aus dieser Gleichgewichtsbedingung leitet der Stokessches-Gesetz-Rechner die konstante Endgeschwindigkeit $v_t$ ab:
$$\frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_p - \rho_f) g = 6 \pi \mu r v_t \quad \Longrightarrow \quad v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho_p - \rho_f)}{\mu}$$
Gültigkeitsbereich und Reynolds-Zahl
Das Stokessche Gesetz gilt nicht universell, sondern setzt bestimmte physikalische Randbedingungen voraus:
- Laminare schleichende Strömung ($Re_p < 1$): Für $Re_p < 0{,}1$ liegt die theoretische Abweichung unter 1 %. Bis $Re_p \approx 1$ liefert das Gesetz verlässliche Schätzungen. Bei $Re_p > 1$ dominieren Trägheitskräfte, sodass empirische Widerstandsgesetze (z. B. nach Oseen oder Schiller-Naumann) erforderlich sind.
- Ideale Kugelgeometrie: Für nichtsphärische Partikel (z. B. Sandkörner, Fasern oder Flocken) muss ein hydrodynamischer Formfaktor oder der äquivalente Kugeldurchmesser berücksichtigt werden.
- Unendliche Ausdehnung des Fluids: Befindet sich das Partikel in einem engen Zylinder oder Glasrohr, erhöhen die Gefäßwände den Strömungswiderstand (Ladenburg-Korrektur).
- Kontinuumsannahme: Bei extrem kleinen Schwebstoffen in Gasen (Aerosole im Submikrometerbereich) wird die mittlere freie Weglänge der Gasmoleküle relevant, was den Einsatz des Cunningham-Korrekturfaktors erfordert.
Wichtige Anwendungsbereiche für den Stokessches-Gesetz-Rechner
Der Stokessches-Gesetz-Rechner wird in zahlreichen naturwissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Disziplinen eingesetzt:
- Wasser- und Abwasseraufbereitung: Auslegung von Absetzbecken und Sandfängen zur Abtrennung sedimentierbarer Feststoffe und Mikroplastik.
- Pharmazeutische Technologie: Beurteilung der physikalischen Stabilität von Suspensionen und Emulsionen (Vermeidung von Sedimentation oder Aufrahmen).
- Geowissenschaften & Bodenkunde: Korngrößenanalyse (Sedimentationsanalyse nach Köhn/Pipettmethode) zur Bestimmung von Schluff- und Tonanteilen in Bodenproben.
- Aerosolphysik & Meteorologie: Berechnung der Sinkgeschwindigkeit von Nebeltröpfchen, Pollen und Feinstaubpartikeln (PM10 und PM2.5) in der Atmosphäre.
- Kugelfallviskosimetrie: Experimentelle Bestimmung der dynamischen Viskosität unbekannter Flüssigkeiten anhand der gemessenen Fallzeit einer Kalibrierkugel.
- Zentrifugentechnik: Übertragung des Prinzips auf Zentrifugalfelder durch Ersetzen der Erdbeschleunigung $g$ durch die Zentrifugalbeschleunigung $a = \omega^2 R$.
Praxisbeispiel: Sedimentation einer Quarzsand-Kugel in Wasser
Angenommen, ein feines kugelförmiges Quarzsandkorn sedimentiert in Wasser bei 20 °C:
- Partikelradius: $r = 50,\mu\text{m} = 5 \times 10^{-5},\text{m}$
- Partikeldichte (Quarz): $\rho_p = 2650,\text{kg/m}^3$
- Fluiddichte (Wasser): $\rho_f = 998,\text{kg/m}^3$
- Dynamische Viskosität: $\mu = 1{,}002 \times 10^{-3},\text{Pa}\cdot\text{s}$
- Erdbeschleunigung: $g = 9{,}81,\text{m/s}^2$
Eingesetzt in die Gleichung des Stokessches-Gesetz-Rechner:
$$v_t = \frac{2 \cdot (5 \times 10^{-5})^2 \cdot (2650 - 998) \cdot 9{,}81}{9 \cdot 1{,}002 \times 10^{-3}} \approx 8{,}99 \times 10^{-3},\text{m/s} = 8{,}99,\text{mm/s}$$
Die zugehörige Partikel-Reynolds-Zahl beträgt:
$$Re_p = \frac{2 \cdot (5 \times 10^{-5},\text{m}) \cdot (8{,}99 \times 10^{-3},\text{m/s}) \cdot 998,\text{kg/m}^3}{1{,}002 \times 10^{-3},\text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 0{,}896$$
Da $Re_p < 1$ ist, befindet sich die Bewegung im Gültigkeitsbereich des Stokesschen Gesetzes, und das Ergebnis des Stokessches-Gesetz-Rechner ist physikalisch exakt.